Niveau Maths sup

Mines Ponts

Posté par
PCSI 26-01-09 à 16:35

Bonjour,

Voilà notre prof de maths nous a donné un exo de maths issu d'un oral de mines-ponts, voilà une semaine que je planche dessus mais rien n'y fait: bloquage. Voilà l'énoncé:

Citation :
Soit f continue sur I=[a,b] à valeurs dans C telle quepour tuout x $appartient$ I, f(a+b-x)=f(x).
Montrer que:
$\int_a^{b} xf(x) dx$ = $\frac{a+b}{2}$ $\int_a^{b} f(x) dx$

Puis calculer:
$\int_(-pi)^{pi}$ $\frac{x*exp(ix)}{1+cos^2(x)$

Voilà ce que j'ai fait
$\int_a^{b}x*f(x)dx$ =b $\int_a^{b}f(b)dx$ -a $\int_a^{b}f(a)dx$ - $\int_a^{b}$ $\int_a^{b}f(x)dx$   (intégration par partie)

$\int_a^{b}xf(x)dx$ =(b-a)²f(b)- $\int_a^{b}$ $\int_a^{b}f(x)dx$   (on remarque que f(a)=f(b))

$\int_a^{b}xf(x)dx$ =(b-a)²f(b)- $\int_a^{b}$ (F(b)-F(a))  (où F est la primitive de f)

$\int_a^{b}xf(x)dx$ =(b-a)²f(b)+(b-a) $\int_a^{b}f(x)dx$

ensuite pour être honnête avec vous je ne vois pas comment faire, j'ai essayé de diviser par (b-a) puis de triturer les expressions, mais aucun résultat n'est concluant.

Pourriez vous me donnez quelques conseils? quelques pistes de réflexion? Apparamment il faut faire un changement de variable( c'est le seul indice que notre prof nous à donné)

merci d'avance à toutes les personnes qui essayeront de m'aider

Cordialement
Pcsi

Posté par re : Mines Ponts 26-01-09 à 16:44

Salut

Pourquoi ne pas poser $3$\rm x=a+b-t$ ?

$3$\rm I=\Bigint_{a}^{b} xf(x)dx=\Bigint_{a}^{b} (a+b-t)f(a+b-t)dt=\Bigint_{a}^{b} (a+b-t)f(t)dt=(a+b)\Bigint_{a}^{b} f(t)dt-\Bigint_{a}^{b} tf(t)dt$
ie :
$3$\rm 2I=(a+b)\Bigint_{a}^{b} f(t)dt$
et donc :
$3$\rm I=\frac{a+b}{2}\Bigint_{a}^{b} f(t)dt$

Posté par re : Mines Ponts 26-01-09 à 16:49

Ok merci bien.

je ne pensais pas faire mon changement de variable tout de suite, je pensais qu'il fallait tout d'abord faire une intégration par partie.

Merci beaucoup.
Bon allez un peu de sport et jme remets dedans

Posté par re : Mines Ponts 26-01-09 à 21:25

Bon en faite pour l'application je suis encore confronté à un problème. Voilà ce que j'ai essayé de faire
soit -p=-Pi et p=Pi
$\int_-p^{p}$ $\frac{xexp(ix)}{1+cos^2(x)}$ = $\int_-p^{p}$ ( $\frac{xcos(x)}{1+cos^2(x)}$ )+ $\int_-p^{p}(\frac{ixsin(x)}{1+cos^2(x)})$

Je trouve donc ma première intégrale nulle mais après j'essaye de faire un changement de variable mais je ne vois pas comment faire. pouvez vous me donner une piste? une aide? suis-je bien parti?

Merci d'avance
Cordialement
PCSI

Posté par re : Mines Ponts 26-01-09 à 21:26

Pourquoi penses-tu qu'il y a écrit "application" ? Il faudrait peut être utiliser le résultat précédent non?

Posté par re : Mines Ponts 26-01-09 à 21:34

je men doute, le souci c'est qu'il faut que f(a+b-x)=f(x)

Donc $\int_-p^{p}(\frac{xcos(x)}{1+cos^2(x)})$ =0 car $\frac{cos(-x)}{1+cos^2(-x)}$ = $\frac{cos(x)}{1+cos^2(x)}$ donc on utilise l'application précédente.

par contre pour ma deuxième intégrale je ne vois pas comment faire,est-ce un changement de variable?

merci

Posté par re : Mines Ponts 26-01-09 à 21:40

Fais une intégration par partie pour la deuxième (sachant que $3$\rm \Bigint \frac{sin(x)}{1+cos^{2}(x)}=-Arctan(cos(x))$ )

Tu en déduis :
$3$\rm \Bigint_{-\pi}^{\pi} \frac{isin(x)}{1+cos^{2}(x)}=i\[-xArctan(cos(x))\]_{-\pi}^{\pi} + i\Bigint_{-\pi}^{\pi} Arctan(cos(x))dx$

Et tu appliques la formule à l'intégrale qui reste.

Posté par re : Mines Ponts 26-01-09 à 21:54

mais ma formule c'est
$\int_a^{b} xf(x) dx= \frac{a+b}{2}\int_a^{b} f(x) dx$

or ici je n'ai pas de x.
de plus mais bornes sont -Pi et Pi donc si je ne change pas mes bornes alors mon intégrale sera égale a zero
donc il faut faire un changement de variable?

merci

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