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Montrer qu'il n'existe pas d'application f de IN dans IN

Posté par
maroc123 25-12-09 à 20:42

Montrer qu'il n'existe pas d'application f de IN dans IN telle que f(f(n)) = n + 3

Posté par
maroc123Montrer qu'il n'existe pas d'application f de IN dans IN telle 25-12-09 à 20:55

Montrer qu'il n'existe pas d'application f de IN dans IN telle que f(f(n)) = n + 3

*** message déplacé ***

Posté par
jverre : Montrer qu'il n'existe pas d'application f de IN dans IN 25-12-09 à 20:55

Regarde le même problème de Q dans Q qui a une solution évidente, mais de Q dans Q et non de N dans N
Cette solution est-elle unique?

Posté par
Foxdevilre : Montrer qu'il n'existe pas d'application f de IN dans IN 25-12-09 à 21:10

Bonsoir,

J'aimerais une précision, c'est un "pour tout" n ou un "il existe" n tel que....?

Posté par
maroc123Montrer qu'il n'existe pas d'application f de IN dans IN 25-12-09 à 21:13

c est pour tout n f(f(n))=n+3

Posté par
pierrecarreApplication de N dans N 25-12-09 à 21:24

BONJOUR !!!

Essaie une démonstration par l'absurde en supposant qu'une telle application existe.

Soient des naturels a,b,c tels que f(0)=a, f(1)=b et f(c)=2.
Vois alors ce qui ne va pas !

En te remerciant pour ce problème.

r2.

Posté par
Foxdevilre : Montrer qu'il n'existe pas d'application f de IN dans IN 25-12-09 à 22:13

J'ai une autre méthode mais il y a peut être mieux que ce que j'ai fait.

Notons f(\mathbb{N})=A

On a:

A\subset\mathbb{N} donc f(A)\subset f(\mathbb{N}). Or f(f(\mathbb{N}))=[3;\infty[ (intervalle avec seulement les entiers bien entendu). Donc f(\mathbb{N})=\mathbb{N}, ou f(\mathbb{N})=[1;\infty[ ou f(\mathbb{N})=[2;\infty[ ou f(\mathbb{N})=[3;\infty[[/tex]. Les cas [3;\infty[ et \mathbb{N} ne sont pas possibles (je te laisse trouver pourquoi mais c'est simple). Les autres cas non plus, il suffit de considérer le cas [1;\infty[ (l'autre se traite de la même manière). Remarquons que:
[0;\infty[=(0)\cup[1;\infty[ donc f([0;\infty[)=f((0))\cup[3;\infty[\neq[1;\infty[ (car f([1;\infty[)=[3;\infty[ par hypothèse). Contradiction. f n'existe donc pas

Posté par
rogerdMontrer... 25-12-09 à 23:25

BONJOUR

Une remarque:

f(f(f(n))) est égal à f(n+3) d'une part et à f(n)+3 d'autre part.
Donc, pour tout n, f(n+3)=f(n)+3.

Posté par
littleguyre : Montrer qu'il n'existe pas d'application f de IN dans IN 26-12-09 à 14:08

Bonjour

En complément :

Aux Olympiades de 1987, il avait été posé ceci : (exercice 4), et cette piste de recherche (exercice 9)


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