Tu dis "Je sais qu'il faut montrer || f(x) - f(y) || <= || x - y || "

Ne serait-ce pas plutôt " K (x,y) E²  ||f(x + y|| K.||y||"

Bonjour.

Utilise le théorème des accroissements finis, la différentielle est bornée, puisque toujours de norme 1. (orthogonale)

Soit (E,<.,>) un euclidien. Je pose N : x (<x,x>)^1/2 et S = {x E ; N(x) = 1}.

Rappel : Pour tout y E on a N(y) = Sup{<y,z> / z S}

Soient x , y  dans E et z dans S. Pour t réel je pose (t) = <f(x + t.y , z> .
est dérivable et pour tout t on a '(t) = <Df(x + t.y).y , z> N(Df(x + t.y).y) N(y) ( puisque toutes les Df(u) sont orthogonales).
Rolle dit qu'il existe au moins un c de ]0 , 1[ tel que (1) - (0) = '(c) , donc  <f(x + y) - f(x) , z> = '(c) N(y).
On a donc N(f(x + y) - f(x)) = Sup{<f(x + y) - f(x) , z> / z S} N(y) .

Ceci prouve que f est lip₁ et même contractante

C'est quand même un poil plus compliqué que ma méthode.
Je ne vois pas pourquoi elle est contractante, on a juste la constante égale à 1, mais pas strictement inférieure.
L'application identité sur E vérifie les hypothèses de l'énoncé, et n'est pas contractante.

Merci pour vos réponses,

si j'ai bien compris, on peut appliquer le théorème des accroissement finis, car f est différentiable et la convexité de E et que la norme de Df(x) = 1 donc on a que pour tout a,b dans E ||f(b)-f(a)||<= ||b - a|| donc f est 1-lipschitzienne.

Oui !

Comment fait-on pour montrer que pour chaque point a de E il existe un voisinage contenant a tel que ||f(x) - f(y)|| = ||x - y || pour tout x,y dans ?

Applique le théorème d'inversion locale : la différentielle est inversible, et la différentielle de est elle aussi orthogonale, ce qui permet d'avoir l'inégalité inverse par le même raisonnement que pour f. (il faut s'arranger pour que le voisinage ouvert de soit convexe)

Si on utilise le théorème d'inversion locale, on peut trouver deux ouverts U et V contenant a et f(a) tel que f : U -> V soit un C1 difféomorphisme, mais comment on fait pour que V soit convexe.

V est ouvert, donc on peut trouver une boule ouverte contenant f(a) et contenu dans V. Cette boule est convexe, et on peut considérer la restriction de l'inverse local de f à cette boule.

Donc comme il y un une boule B (convexe) inclue dans E, on peut appliquer le théorème des accroissements finis à f-1. ||(Df-1)y|| = 1 donc pour tout c,d dans B ||f-1(c) - f-1(d)|| <= ||c - d || il existe a et b dans U tels que f(b) = c et f(a) = d. || b - a || <= || f(b) - f(a)|| pour tout f-1(V).

C'est correct ! (la boule est contenue dans V, et d'un point de vue rédaction, on devrait partir dès le début de a et b dans , et appliquer le raisonnement sur à f(a) et f(b), mais l'essentiel est là)

Si on considère f-1(V) = A et = A - a et g_a ( u) = f(a+u)-f(a) . Pour pouvoir dire que <g_a(u), g_a(v)> = <u,v> il faut utiliser le fait que le produit scalaire est conservé?