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Montrer que des points sont alignés
Salut, je dois prouver que si deux cercles se touchent en un seul point alors le centre du premier cercle, le point d'intersection des deux cercles, et le centre du deuxième cercle sont alignés.
Je n'arrive à rien pour l'instant, merci de bien vouloir m'aider.
Voici une figure pour éclaircir mes propos :
Au temps pour moi, les deux cercles sont donc tangents.
AB+BC = rayon du cercle 1 + rayon du cercle 2
je ne peux rien dire de AC puisque je suis censé montrer qu'ils sont alignés je ne vois pas comment exprimer la longueur AC.
On ne connait rien dans l'énoncé, on sait juste que les deux cercles sont tangents, je sèche complètement ...
J'ai eu l'idée d'exploiter le fait que le plus court chemin est une droite mais je ne vois pas comment prouver que r+R et les plus court chemin entre les deux centres des cercles.
bonsoir pezzigato
si tu sais que les cercles sont tangents en B ils ont en B la même tangente BT
donc
BA est perpendiculaire à BT en B
BC...........................................................;
donc A,B,C ................................................
On a BC qui est perpendiculaire à BT en B donc on a deux angles voisin de 90 degrès ce qui fait au total 180 degrès et une ligne droite, on en déduit que A B et C sont alignés
C'est ca ?
Bonjour,
Tout dépend de la définition de 2 cercles tangents...
Dans le premier message, on a "deux cercles se touchent en un seul point". pas de tangente commune donc.
Je pense que l'on peut démontrer que le point B est sur la droite (AC) en utilisant le symétrique B' de B par rapport à l'axe (AC) .
On a B'=B car B' est aussi sur les deux cercles.
bnjour Silveg
oui c'est mieux,à l'origine le texte ne parlait qte d'un seul point commun c'est c arpediem qui l'a un peu modifié
c'est pour cela que j'ai écrit "si tu sais que les cercles sont tangents"
Bonjour,
Tout dépend de la définition de 2 cercles tangents...
Dans le premier message, on a "deux cercles se touchent en un seul point". pas de tangente commune donc.
et j'ai modifié le texte pour utiliser un langage mathématique ...
D'accord, moi non plus je n'en ai jamais vu 
Mais il faut se mettre d'accord au départ sur les propriétés que l'on peut utiliser.
Deux cercles qui ont un unique point commun ont une tangente commune et une seule.
Mais c'est une propriété. Peut-on l'utiliser ?
A mon avis, pour la démontrer, on passe par les points alignés. Je crains un serpent qui se mord la queue.
Mais je peux me tromper !
on peut dire
si le point commun n'était pas sur la droite des centres axe de symétrie de la figure il y aurait par symétrie un second point commun comme il n'y en a qu'un...
Bonjour veleda,
Oui, voir mon message de 7h05.
Il est vrai que l'expression "se touchent en un seul point" utilisée par PEZZIGATO dans son 1er message est ambiguë.
Sylvieg : oui c'est tout le pb ... d'où mon post de 16h31 : que sait-on exactement ?
veleda : oui j'y avais pensé aussi : travailler avec l'axe de symétrie : droite des centres ... et peut-être inégalité triangulaire ...
Je ne saisis pas l'idée de la symétrie 
vous pouvez m'expliquer plus clairement ?
Sinon l'idée que l'on m'a donnée avec la tangente est elle bonne ?
bonsoir pizzagato"
AC la droite des centres est un axe de symétrie pour la figure formée par les deux
cercles
donc
si ie poiht ommun aux deux cercles n'est pas sur cette droite son symétrique par rapport à cette droite est aussi sur chacun des cercles
les cercles auraient donc deux points en commun
or
par hypothèse ils en ont un seul
d'où
le point commun est sur la droite des centres
Pour rebondir sur la jolie proposition de symétrie de Veleda : (que connaît on des propriétés des symétries axiales en seconde ?)
Même si les démonstrations géométriques me semblent plus élégantes que celles reposant sur des équations analytiques, je pense qu'en seconde on peut comprendre que l'équation d'un cercle est du type
distance entre chaque point du cercle et le centre est constante (rayon).
Si on définit un repère avec l'axe des x sur la droite des deux centres, avec l'origine au centre du premier cercle, et pour simplifier encore, une unité de façon à ce que le premier rayon soit 1, on cherche les points d'intersections des deux cercles. ces points M (x, y) vérifient l'équation des deux cercles
(distance au centre de chaque cercle)
x^2 + y^2 = 1 et (x-xo')^2 +( y-yo')^2 =r'^2. Par choix de repère l'ordonnée du second cercle vaut 0 aussi. donc
x^2 + y^2 = 1 et (x-xo')^2 +( y) ^2=r'^2.
En combinant on verra qu'on trouve une seule valeur de x. Et la seule façon ensuite d'avoir une seule valeur pour y est que y soit nulle (équation du type y^2=k). (La symétrie évoquée par Veleda)
C'est pas joli mais ça n'utilise aucune connaissance autre que Pythagore (distance entre 2 points) et résolution d'équation de degré 1 (trouver x) ou équation carré (trouver y)
Je me suis intéressée à ce problème. En effet, c'est un régal en maths de s'assurer qu'on démontre une chose avec les axiomes admis et rien d'autres. Je suis preneuse d'une démonstration purement géométrique n'utilisant que des outils de seconde
Salut à tous !
Bonjour
Les symétries se voient au collège, donc connues en seconde
Pythagore se voit au collège et la distance dans un repère orthonormé en seconde, mais les équations de cercle se voient en 1re même si ça peut se démontrer en seconde car on aurait les outils, mais bon...
Merci Malou ! Pour les symétries en collège on les définit avec quoi ? (vecteurs ?) Comment dire que si le point d'intersection entre les 2 cercles n'appartient pas à la droite des deux centres alors son symétrique par rapport à cette droite est bien également sur les 2 cercles ? Quelle propriété de collège est utilisée pour démontrer ça ? (vecteurs ? Distances conservées ? autre ?) Merci d'avance ! Valérie
Attendus de fin de 5e : 
(clique sur la maison)
Attendus de l'ensemble de cycle 4 :
Tout se trouve sur nos pages dédiées (voir fiches classées par niveau)
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