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Montrer que f est homogène

Posté par
flo128 06-03-10 à 11:43

Bonjour à tous,

J'ai un DM à rendre pour lundi mais je bloque sur une question depuis pas mal de temps, alors je me permet de venir vous demander un petit peu d'aide ...

Soit f:R²\(0,0)-->R une fonction de classe C1 et vérifiant l'identité d'Euler.
Soit (x0,y0R²\(0,0).
Posons g(t)=f(tx0,ty0)-tf(x0,y0).

Je vous donne l'identité d'Euler qui met donné :
xxf(x,y)+yyf(x,y)=f(x,y) , (x,y) (0,0).

Montrer que g est dérivable et calculer tg'(t). Montrer que g' est identiquement nulle.


Alors j'ai montré que g était dérivable car f et t sont de classe C1. Donc g est de classe C1 et est donc dérivable.

J'ai calculé tg'(t)=tf(x0,y0)-tf(x0,y0).

Mais je n'arrive pas à montrer que g' est identiquement nulle, en fait je ne comprends pas le identiquement...
Je vois bien que l'on a  g'(1)=0 mais ca c'est vrai seulement pour t=1.

Sinon si on veut généraliser à tous les t, en posant g'(t)=0, on trouve t=1 ou =1.

Je bloque alors...

Je vous remercie grandement de vos réponse et bonne journée !

Posté par
Camélia Correcteurre : Montrer que f est homogène 06-03-10 à 14:36

Bonjour

C'est la dérivée de la fonction g qui est fausse!. En fait

g'(t)=x_0\frac{\partial f}{\partial x}(tx_0,ty_0)+y_0\frac{\partial f}{\partial y}(tx_0,ty_0)+\alpha t^{\alpha-1}f(x_0,y_0)

Donc tg'(t)=0 en utilisant l'hypothèse!

Posté par
flo128re : Montrer que f est homogène 06-03-10 à 14:48

Merci pour la dérivée !! ...

Mais je vois pas comment en utilisant l'hypothèse tu arrive à tg'(t)=0.
EN fait je ne vois pas l'intérêt de multiplié par t.

Posté par
rhomarire : Montrer que f est homogène 06-03-10 à 15:12

quelle est la question exactement selon l enoncé
on a:g'(t)=x_0 \frac{\partial f}{\partial x}(tx_0,ty_0)+y_0\frac{\partial f}{\partial y}(tx_0,ty_0)- \alpha t^{\alpha-1}f(x_0,y_0)donc on conclus..que tg'(t)=\alpha g(t) ...

Posté par
flo128re : Montrer que f est homogène 06-03-10 à 15:21

Et après je résous l'équation diff et j'en déduit g'? (désolé de ne pas comprendre?)

Posté par
Camélia Correcteurre : Montrer que f est homogène 06-03-10 à 15:36

D'abord j'avais une erreur de signe. Il y a un - devant le dernier terme.

Ensuite c'est plus subtil...

tg'(t)=((tx_0)\frac{\partial f}{\partial x}{(tx_0,ty_0)+(ty_0)\frac{\partial f}{\partial y}(tx_0,ty_0))-\alpha t^{\alpha}f(x_0,y_0)=\alpha f(tx_0,ty_0)-\alpha t^{\alpha}f(x_0,y_0)=\alpha g(t)

Si on suppose g non nulle sur ]0,1[, on a g'/g=\alpha/t, donc |g(t)|=Ct^\alpha où C est une constante. Mais par définition g(1)=0, donc C=0, contradiction!

En fait j'ai montré que g est nulle, mais c'est bien ce que l'on voulait!

Vérifie soigneusement, je ne crois pas que je faisais ça comme ça dans le temps... Je m'attendais à trouver girectement tg'(t)=0...

Posté par
Camélia Correcteurre : Montrer que f est homogène 06-03-10 à 15:36

Merci rhomari, j'avais des doutes...

Posté par
flo128re : Montrer que f est homogène 06-03-10 à 15:54

Je comprends bien, mais c'est que tu va un peu vite, puisque dans une première question, il me demande de montrer que g' est identiquement nulle puis dans une seconde, en écrivant que g est constante de montrer que f est homogène de degré alpha.
Alors que là, si on trouve l'équa diff, on en déduit directement g(t)=0, je saute une étape mais je ne vois pas comment ne pas la sauter...

Posté par
Camélia Correcteurre : Montrer que f est homogène 06-03-10 à 15:59

Justement, ça m'inquiétait, mais si nous sommes 2 à trouver la même chose...

Posté par
flo128re : Montrer que f est homogène 06-03-10 à 16:04

Merci pour vos réponses, je vais essayer de chercher comment trouver g' identiquement nulle par une autre méthode mais sinon je ferais ca !
Bonne journée à vous .

Posté par
rhomarire : Montrer que f est homogène 06-03-10 à 19:00

remarque que tg'-g=0 \Longr (tg)'=0 \Longr tg=k pour t=0 on aura k=0...

Posté par
rhomarire : Montrer que f est homogène 06-03-10 à 19:01

remarque que tg'-g=0 \Longr (tg)'=0 \Longr tg=k pour t=0 on aura k=0...

Posté par
flo128re : Montrer que f est homogène 07-03-10 à 12:37

Ok, mais le problème est aussi que ma relation est pour tout t>0 donc je ne peux pas faire t=0.

Par ailleurs je ne vois toujours pas comment trouver g' identiquement nulle directement .
Si quelqu'un peut encore me donner un petit conseil ce serait génial !
Bonne journée à tous.

Posté par
rhomarire : Montrer que f est homogène 07-03-10 à 13:34

tg est constante donc si on tend t vers 0 ....

Posté par
Camélia Correcteurre : Montrer que f est homogène 07-03-10 à 15:03

Mais ce n'est pas tg'-g=0 mais tg'-\alpha g=0


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