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Montrer que la différence symétrique est "symétrique"
Bonjour à tous,
Je dois montrer que, A, B, C étant des sous-ensembles de E:
A
(BC)=(AB)C
Le problème c'est que je ne vois pas comment le montrer, dans la mesure où cela va de soi....
J'ai pensé à tout simplifier pour ensuite trouver un résultat commun, mais les calculs sont très fastidieux, et font plusieurs lourdes lignes...
Merci beaucoup de votre aide,
Bonjour,
il faut utiliser les bons termes, ca n'est pas symétrique mais associatif ...
Ca ne va pas de soit, la preuve, tu ne sais pas le montrer ...
Reviens aux définitions (union d'intersections) et appliques éventuellement les règles de de Morgan.
Bonjour,
en utilisant la fonction caractéristique on arrive au résultat sans trop de longs calculs : il suffit de montrer que
(A(BC))=((AB)C).
Pour cela on peut d'abord montrer que (AB)=(A)+(B)-2(A)(B).
Si tu n'as pas encore vu les fonctions caractéristiques, par contre, je ne vois pas comment procéder.
La fonction caractéristique c'est toujours une bonne idée, mais en revenant à la définition ça devrait fonctionner également.
J'ai employé le terme "symétrique", car dans mon livre de mathématiques, Jean Mallet tome 3, pour ECE, ils disent que l'adjectif symétrique provient de l'associativité de la différence symétrique.
J'ai juste vu la fonction caractéristique très brièvement, pour déterminer une suite récurrentielle d'ordre 2 en fonction de n. Tu pourrais préciser, s'il te plais, Intégral?
Otto, c'est ce que j'ai fait, mais je trouve un résultat très lourd, j'ai tout écrit avec des 
et des 
.
Merci pour vos réponses,
Un rappel : x
A ssi A(x)=1.
Pour montrer que (AB)=(A)+(B)-2(A)(B): soit xE.
On distingue les cas:
*si xA et x
B alors x(AB) donc A(x)=1.
De plus A(x)+B(x)-2A(x)B(x)=1+0-0=1
D'où l'égalité.
*si xB et xA on montre de même que (AB)=(A)+(B)-2(A)(B).
*Si xA et xB alors (AB)=0
car xAB
D'autre part (A)+(B)-2(A)(B)=1+1-2*1*1=0 d'où l'égalité.
*Si xA et xB : raisonnement similaire.
J'espère avoir été clair.
Pour monter l'associativité tu as juste à appliquer cette formule :
(A(BC))=(A)+(BC)-2(A)(BC)
=(A)+(B)+(C)-2(B)(C)-2(A)((B)+(C)-2(B)(C))
=(A)+(B)+(C)-2(A)(B)-2(A)(C)-2(B)(C)+4(A)(B)(C).
En calculant ((AB)C) on aboutit au même résultat.
J'utilise 1A au lieu de A .
1.Si A et B sont des parties de X on a :
. A = B 
1A = 1B 1A = 1B (modulo 2) et
.1AB = 1A + 1B (modolo 2)
2. Si A , B et C sont des parties de X on a (modolo 2) :
1(AB)C = 1A + 1B + 1C = 1A(BC) donc A(BC) = (AB)C
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