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montrer une inégalité

Posté par
armandarmani 09-11-08 à 17:51

Bonsoir,

J'ai déjà montré que lnxx-1 avec x+*.

Maintenant, il faut que je montre que vu en me servant de lnxx-1 avec x=a1/u et x=a2/u, etc.

on sait que: n est un entier 2 et que a1, a2,...an sont > 0. Aussi, on connait u, v et n/w que vous pouvez voir sur mon image.

Je n'ai aucune idée de ce que je dois faire, désolé. Pouvez-vous me mettre sur une piste ?

merci

montrer une inégalité

Posté par
lexou1729re : montrer une inégalité 10-11-08 à 15:10

Bonjour,

Je suppose que v s'écrit avec une racine n-ième.
u est la moyenne arithmétique des n nombres a1, ... , an.
v est leur moyenne géométrique et w leur moyenne harmonique.

Pour ton exercice, applique la consigne.
Ln(\frac{a_1}{u})\le\frac{a_1}{u}-1
Ln(\frac{a_2}{u})\le\frac{a_2}{u}-1
     .
     .
     .
Ln(\frac{a_n}{u})\le\frac{a_n}{u}-1

En sommant toutes ces inégalités, et après transformations, tu trouves :

Ln(a_1)+Ln(a_2)+...+Ln(a_n)\le{nLn(u)}



Or nLn(v)=Ln(a_1)+Ln(a_2)+...+Ln(a_n) (si, bien sûr, v=\sqrt[n]{a_1a_2...a_n})

il ne te reste plus qu'à conclure.

Posté par
armandarmanire : montrer une inégalité 11-11-08 à 15:04

merci de m'avoir répondu !
J'ai additionner ces inagalités, et je trouve l'inégalité sur mon image.
Mais je vois pas comment je pourrais trouver ton résultat...

montrer une inégalité

Posté par
lexou1729re : montrer une inégalité 11-11-08 à 19:32

Voici les "quelques transformations" évoquées dans mon précédent post :

Ln(\frac{a_1}{u})+Ln(\frac{a_2}{u})+...+Ln(\frac{a_n}{u})\le(\frac{a_1}{u}-1)+(\frac{a_2}{u}-1)+...+(\frac{a_n}{u}-1)

(Ln(a_1)-Ln(u))+(Ln(a_2)-Ln(u))+...+(Ln(a_n)-Ln(u))\le\frac{a_1+a_2+...+a_n}{u}-n

Ln(a_1)+Ln(a_2)+...+Ln(a_n)-nLn(u)\le\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\time\frac{n}{u}-n

Ln(a_1)+Ln(a_2)+...+Ln(a_n)-nLn(u)\le{u\time\frac{n}{u}-n}

Ln(a_1)+Ln(a_2)+...+Ln(a_n)-nLn(u)\le{0}

Ln(a_1)+Ln(a_2)+...+Ln(a_n)\le{nLn(u)}

CQFD

Posté par
armandarmanire : montrer une inégalité 12-11-08 à 21:23

ah!merci !
Ensuite, je pense qu'il faut terminer comme cela:
or: nln(v)=nln(n(a1a2...an)=ln(a1)+ln(a2)+...+ln(an)
nln(v)nln(n)
vu
fallait chercher quand même ! Tu as dû déjà faire un exercice de type, je pense.
merci beaucoup Lexou

Posté par
lexou1729re : montrer une inégalité 12-11-08 à 21:29

Disons que "très souvent", quand il faut comparer des additions avec des multiplications, on utilise le passage aux logarithmes ou aux exponentielles.

Ravi d'avoir pu t'aider


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