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Morphisme oui mais isomorphisme?
Bonsoir,
Alors on a:
La loi * tel que 
(x,y) 
]-1,1[²=E² x*y=(x+y)/(1+xy)
Après une étude préliminaire (LCI, commutative, associative, élément neutre) je dois montrer que:
avec f(x)=(1/2)Ln|(1+x)/(1-x)| que f est un isomorphisme de (E,*) vers (
,+)
J'ai donc montrer que f(x*y)=f(x)+f(y) donc que c'est un morphisme
Reste à montrer que ce morphisme est bijectif soit injectif et surjectif mais je vois pas comment faire...
J'espère que quelqu'un pourra m'aiguiller.
Si tu sais étudier une fonction tu dois savoir le faire .
f est strictement croissante (donc injective) , f(t) 
+
(qd t 1-) et f(t) - (qd t -1+ . D'après le th des VI , Im(f) = donc f est surjective.
Ceci prouve que tout élément b de IR admet un unique antécédent par f dans ]-1,1[
Conclusion : f est une bijection.
De plus, ce calcul te fournit f-1
Là je comprends c'est clair, merci beaucoup 
Cette méthode marche pour tout les isomorphismes? voire bijection?
Pas toujours, car l'équation f(x) = b ne se résout pas forcément aussi simplement qu'ici.
L'exemple qui est donné dans ton exercie est un grand classique.
Une petite question sur un truc dans l'énoncé que je comprends pas:
A la suite on me dit, on note x(n)=x*x*....*x (n fois)
Je dois démontrer que n 
f(x(n))=nf(x)
J'arrive au bon résultat en me servant du fait que f est un isomorphisme mais dans l'initialisation de ma récurrence pour n=0 f(x(n)) il vaut 0 ou x? pour n=1 çà fait x*x et ainsi de suite mais pour 0 j'ai un doute.
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