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Moyenne arithmético géométrique

Posté par
Thoy 13-12-09 à 17:13

Re Bonsoir

Un autre souci sur un autre exercice dont le début est aisé mais la fin en application est plus difficile, je tourne en rond !

Voila, soit a,b réelles tq 0<a<b et les deux suites u et v :
u_0=a, v_0=b \\ u_{n+1}=sqrt(u_nv_n) \\ v_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}

J'ai démontré que pour tout entier n, unun+1vn+1vn et qu'elles étaient adjactences d'après l'inégalité trouvée
0vn+1-un+11/2(vn-un).

Voici l'application. Pour a=1 et b=2 il s'agit de montrer que pour tout entier n positif on a
v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{(v_n-u_n)^2}{8v_{n+2}}\le\frac{(v_n-u_n)^2}{10}.
puis
v_n-u_n\le\frac{(v_1-u_1)^2^{n-1}}{10^{2^{n-1} -1}}
Vérifier que v_1-u_1\le10^-1 ; en déduire que pour tout n [tex]0\lev_n-u_n\le10^{-(2^n-1).
Comment choisir n pour que un ou vn soit une approximation à 10^-10 près de la moyenne arithmético-géométrique de 1 et 2 ? Quel est le gain de précision obtenu en passant de n à n+1?

Merci à vous

Posté par
Thoyre : Moyenne arithmético géométrique 13-12-09 à 17:16

Je suis mauvaise. Je réecris la dernière ligne.
Vérifier que v_1-u_1 \le 10^{-1} en déduire que pour tout n entier non nul, 0 \le v_n-u_n \le 10^{-(2^n-1)}

Posté par
Thoyre : Moyenne arithmético géométrique 13-12-09 à 17:47

Pouvez vous m'aider ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Moyenne arithmético géométrique 14-12-09 à 11:32

Bonjour,

v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}-\sqrt{u_nv_n}=\frac{u_n+v_n-2\sqrt{u_n}\sqrt{v_n}}{2}

v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{(\sqrt{v_n}-\sqrt{u_n})^2}{2}=\frac{(v_n-u_n)^2}{2(\sqrt{v_n}+\sqrt{u_n})^2}

Or v_{n+2}=\frac{u_{n+1}+v_{n+1}}{2}=\frac{\frac{u_n+v_n}{2}+\sqrt{u_nv_n}}{2}

v_{n+2}=\frac{(\sqrt{v_n}+\sqrt{u_n})^2}{4}}

De plus v_{n+2}\geq v_1

v_{n+2}\geq \frac{3}{2}\geq \frac{5}{4}

On en déduit que:

(\sqrt{v_n}+\sqrt{u_n})^2=8v_{n+2}\geq 10

Donc que:

v_{n+1}-u_{n+1}\leq \frac{(v_n-u_n)^2}{10}

On fait ensuite une récurrence sur la propriété P_n:

Pour tout n\geq 1: 3$v_n-u_n\leq \frac{(v_1-u_1)^{2^{n-1}}}{10^{2^{n-1}-1}}

L' initialisation pour n=1 est immédiate.

Pour l' hérédité:

3$v_{n+1}-u_{n+1}\leq \frac{(v_n-u_n)^2}{10}\leq \frac{\left[(v_1-u_1)^{2^{n-1}}\right]^{2}}{10\times \left(10^{2^{n-1}-1}\right)^2}

3$v_{n+1}-u_{n+1}\leq \frac{(v_1-u_n)^{2^n}}{10^{2^n-1}}

et l' hérédité est prouvée.

C' est un début...

Posté par
Thoyre : Moyenne arithmético géométrique 14-12-09 à 21:30

Oh merci, j'ai bien compris, donc, quelques inégalités étaient difficiles à trouver effectivement mais sont justifiées

Cela m'a permis de finir l'exo, je te remercie grandement

Posté par
cailloux Correcteurre : Moyenne arithmético géométrique 14-12-09 à 21:34

De rien Thoy


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