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Moyennes diverses et variées

Posté par
poissonium 09-05-09 à 20:46

Hello sur l'île !

J'ai un petit problème ;

Comment montrer cette inégalité à l'aide de la convexité de la fonction carré et la concavité du log ?

M_{harmonique}(x_1, x_2, ..., x_n) < M_{geometrique}(x_1, x_2, ..., x_n) < M_{arithmetique}(x_1, x_2, ..., x_n) < M_{quadratique}(x_1, x_2, ..., x_n)

J'ai eu beau cherché une démonstration sur google, ça n'a rien donné ^^

Posté par
poissoniumre : Moyennes diverses et variées 11-05-09 à 20:10

Bonsoir,

Je vais détailler un peu (peut-être certains voudront bien m'aider =D)

En utilisant la convexité de la fonction ln ou de la fonction carré j'aimerais montrer dans un premier temps que :

Pour tout x_1, x_2, ..., x_n (réels positifs) on a :

\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}} \leq \sqrt[n]{x_1 x_2 ... x_n}

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer cela ?

Merci beaucoup !

Posté par
Narhmre : Moyennes diverses et variées 11-05-09 à 22:09

Bonjour,

En ce qui concerne 3$ M_{\text{harm}}\leq M_{\text{geo}}, en utilisant la convexité de la fonction 3$ x: \ \to \fr{1}{x} on l'a directement

Posté par
Narhmre : Moyennes diverses et variées 11-05-09 à 22:20

Pour 3$ M_{\text{geo}}\leq M_{\text{arith}}, il s'agit ici d'employer la concavité de 3$ \ln

Pour 3$ M_{\text{arith}}\leq M_{\text{quad}}, il faut employer la convexité de 3$ f: \ x \to x^2

Posté par
Narhmre : Moyennes diverses et variées 11-05-09 à 23:10

Ah non pardon, je me suis trompé dans mon premier post.
Pour montrer que 3$ M_{\text{harm}}\leq M_{\text{geo}}, montre d'abord que 3$ M_{\text{geo}}\leq M_{\text{arith}}.

Une fois fait, comme l'inégalité est vrai pour tout x_1,...,x_n > 0, elle l'est encore si on remplace les x_1,...,x_n par leur inverse 1/x_1,...,1/x_n :
3$ \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 ... x_n} \Longrightarrow \fr{\fr{1}{x_1}+...+\fr{1}{x_n}}{n} \geq \fr{1}{\sqrt[n]{x_1 x_2 ... x_n}}.
Il suffit alors d'inverse cette égalité et le tour est joué.

Pour montrer que 3$ M_{\text{geo}}\leq M_{\text{arith}} :
La fonction ln est concave : en effet elle est 3$ \mathcal{C}^2(\mathbb{R}^{+\star}) et \ln^{''}(x)=-\fr{1}{x^2} 0 pour tout x>0.

D'apres l'inégalité de Jensen, on a pour tout x1,...,x_n strictement positifs et \lambda_1,...,\lambda_n positifs tels que \lambda_1+...+\lambda_n=1 :
3$ \ln(\lambda_1x_1+...+\lambda_nx_n)\geq \lambda_1\ln(x_1)+...+\lambda_n\ln(x_n)

Applique Jensen avec \lambda_1=...=\lambda_n=\fr{1}{n}, puis utilise la croissance de l'exponentielle pour conclure.

Procede de meme pour montrer : 3$ M_{\text{arith}}\leq M_{\text{quad}}

Sauf erreurs...

Posté par
poissoniumre : Moyennes diverses et variées 12-05-09 à 07:35

D'accord merci, je crois que c'est bon


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