Bonjour.
Il faut majorer de façon plus fine: on a pour , donc

je trouve que exp(-xln(x))exp(e) mais le problème reste le même... le critère de comparaison ne sert toujours pas non ?

Bonjour,
j'aurais envie de dire que x^(-x) est décroissante, donc tu choisis M quelconque, disons M=2 et tu as
f(x)< 1/2^x.

L'inégalité est vraie pour x>M=2 évidemment.

dsl otto mais je ne comprends pas du tout l'histoire du M... par contre après avoir f(x)<1/2^x je sais comment conclure grâce au critère de comparaison.

Pourtant l'idée est simple, tu sais que ta fonction est continue, donc qu'il va y avoir convergence sur n'importe quel compact, donc en particulier sur n'importe quel ensemble [1,M].
En particulier, tu sais donc que seul le comportement sur [M,+oo[ est important, tu peux donc carrément oublier le reste.

Maintenant, si tu trouves un M qui te permet de conclure rapidement alors c'est gagné. Moi je prétend que pour M=2, on a f(x)<1/2^x sur [M,+oo[, tout simplement parce que

ln(x)>ln(2) pour x>2
donc
xln(x)>xln(2)
et
exp(-xln(2))> exp(-xln(x))

ah d'accord merci beaucoup.