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Posté par
fusionfroidere : Nature d'une série .. 14-04-08 à 18:59

impressionnant !

Tu l'as trouvé avec un DA

Posté par
gui_toure : Nature d'une série .. 14-04-08 à 19:12

Elhor, une idée pour le calcul ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nature d'une série .. 14-04-08 à 19:39

Si je ne me trompe je trouve 5$\fbox{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\;u_n=\frac{\ell n^2(2)}{2}\;-\;\frac{\;\pi^2}{12}\;\sim\;-0.5822405266}

et la démarche est assez élémentaire en plus (sauf erreur bien entendu)

gui_tou >> (c'est pas trés loin de \red-\gamma)

Posté par
gui_toure : Nature d'une série .. 14-04-08 à 20:43

Elémentaire, élémentaire ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nature d'une série .. 14-04-08 à 21:24

Oui

on commence par écrire 4$\fbox{S_n=\Bigsum_{k=1}^{n}u_k=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k}\Bigsum_{i=1}^{k}\frac{1}{i}}

et en inversant nos deux sommes (finies) , on voit apparaître un truc intéressant (sauf erreur bien entendu)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nature d'une série .. 15-04-08 à 02:23

On obtient 4$\fbox{S_n=\Bigsum_{i=1}^{n}\;\frac{1}{i}\;\underb{\fbox{\Bigsum_{k=i}^{n}\;\frac{(-1)^k}{k}}}_{a_{n,i}}}

et comme 3$\fbox{a_{n,i}=\Bigsum_{k=i}^{n}\;(-1)^k\;\int_{0}^{1}x^{k-1}\;dx=-\Bigsum_{k=i}^{n}\;\int_{0}^{1}(-x)^{k-1}\;dx=-\int_{0}^{1}\;\left(\;\Bigsum_{k=i}^{n}\;(-x)^{k-1}\right)\;dx=\int_{0}^{1}\;\frac{(-x)^n-(-x)^{i-1}}{1+x}dx

on voit que 6$\fbox{S_n=\underb{\fbox{\left(\;\Bigsum_{i=1}^{n}\;\frac{1}{i}\;\right).\int_{0}^{1}\;\frac{(-x)^n}{1+x}dx}}_{R_n}\;-\;\int_{0}^{1}\;\frac{\overb{\fbox{\Bigsum_{i=1}^{n}\;\frac{(-1)^{i-1}x^{i-1}}{i}}}^{b_n(x)}}{1+x}dx}

il est d'une part facile d'établir que 3$\fbox{\lim_{n\to+\infty}\;R_n=0}

et d'autre part , l'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre n sur [0,x] appliquée à la fonction t\to\ell n(1+t) donne pour tout x\in[0,1] ,


4$\fbox{\left|\;\ell n(1+x)\;-\;\Bigsum_{i=1}^{n}\;\frac{(-1)^{i-1}x^{i}}{i}\;\right|\;\le\;\frac{x^{n+1}}{n+1}} soit encore pour tout x\in[0,1] ,


5$\fbox{\left|\;\frac{\ell n(1+x)}{x}\;-\;b_n(x)\;\right|\;\le\;\frac{x^{n}}{n+1}\;\le\;\frac{1}{n+1}}


avec ceci on établit finalement que 6$\blue\fbox{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\;u_n\;=\;\lim_{n\to+\infty}S_n\;=\;\int_{0}^{1}\;\frac{\ell n(1+x)}{x(1+x)}dx} (sauf erreur bien entendu)


Posté par
infophilere : Nature d'une série .. 15-04-08 à 02:26

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nature d'une série .. 15-04-08 à 02:35

encore réveillé infophile ?!!

Posté par
infophilere : Nature d'une série .. 15-04-08 à 02:39

J'ai été ébloui par tes encadrés \LaTeX ça m'a réveillé

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nature d'une série .. 15-04-08 à 02:40

Je prierai kaiser d'ajouter un signe moins devant ma dernière intégrale

Posté par
Coll Moderateurre : Nature d'une série .. 15-04-08 à 07:48

Bonjour à tous !

Il suffit de demander...

6$\blue\fbox{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\;u_n\;=\;\lim_{n\to+\infty}S_n\;=\;-\,\int_{0}^{1}\;\frac{\ell n(1+x)}{x(1+x)}dx}

Posté par
jeansebre : Nature d'une série .. 15-04-08 à 09:17

Depuis la nuit des temps,on se demande pourquoi on fait des mathématiques.

Jean Dieudonné a dit que c'est "pour l'honneur de l'esprit humain".

Peut-être aussi que c'est pour avoir la chance de déguster les succulentes résolutions d'elhor abdelali.

Bravo et Merci, Elhor!

Posté par
gui_toure : Nature d'une série .. 15-04-08 à 10:17

Je suis bluffé Le plus remarquable, c'est que je comprends

Citation :
et la démarche est assez élémentaire en plus


Je n'ose pas imaginer une démarche moins naturelle pour Elhor !

Citation :
Depuis la nuit des temps,on se demande pourquoi on fait des mathématiques.

Jean Dieudonné a dit que c'est "pour l'honneur de l'esprit humain".

Peut-être aussi que c'est pour avoir la chance de déguster les succulentes résolutions d'elhor abdelali.


I agree

---------

Dans l'encadré :

4$\fbox{\left|\;\ell%20n(1+x)\;-\;\Bigsum_{i=1}^{n}\;\frac{(-1)^{i-1}x^{i}}{i}\;\right|\;\le\;\frac{x^{n+1}}{n+1}}

ce ne serait pas plutôt :

4$\fbox{\left|\;\ell%20n(1+x)\;-\;\Bigsum_{i=1}^{n}\;\frac{(-1)^{i-1}x^{\fbox{i-1}}}{i}\;\right|\;\le\;\frac{x^{n+1}}{n+1}}   ?

Encore bravo Elhor, et merci !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nature d'une série .. 15-04-08 à 11:38

Merci jeanseb merci gui_tou

mais , croyez moi , il m'arrive de commettre des erreurs et graves en plus

gui_tou >> : je ne crois pas car , sauf erreur , le développement en 0 de \ell n(1+x) commence bien par x (terme constant nul).


Un grand 5$MERCI à notre nouveau modérateur 3$\red Coll

Posté par
tealcre : Nature d'une série .. 15-04-08 à 11:42

Salut tout le monde, et merci elhor pour la magnifique démonstration ^^

par contre, je dois être mal réveillé, mais je ne vois pas comment tu démontres que R_n tend vers 0, car on a une intégrale qui tend vers 0 multipliée par la série harmonique qui diverge ... Où alors j'ai pas assez dormi ? ^^

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nature d'une série .. 15-04-08 à 14:56

Si je ne me trompe , on a pour tout entier naturel non nul n , 5$\blue\fbox{\left|R_n\right|\;\le\;\frac{\ell n(n)+1}{n+1}}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nature d'une série .. 15-04-08 à 18:08

Je m'explique ;

Du fait de la décroissance de la fonction \fbox{t\to\frac{1}{t}} sur ]0,+\infty[ , on a , pour tout \fbox{i\in\mathbb{N}-\{0,1\}} , 4$\fbox{\frac{1}{i}\;\le\;\int_{i-1}^{i}\frac{dt}{t}\;=\;\ell n(i)-\ell n(i-1)}

d'où pour tout entier n\ge2 , 4$\fbox{\Bigsum_{i=2}^{n}\;\frac{1}{i}\;\le\;\ell n(n)} et donc pour tout entier n\ge1 , 4$\blue\fbox{\Bigsum_{i=1}^{n}\;\frac{1}{i}\;\le\;\ell n(n)+1} .

D'autre part la continuité de l'intégrale donne pour tout entier naturel n , 4$\blue\fbox{\left|\;\int_{0}^{1}\;\frac{(-x)^n}{1+x}dx\;\right|\;\le\;\int_{0}^{1}\;\frac{x^n}{1+x}dx\;\le\;\int_{0}^{1}\;x^ndx\;=\;\frac{1}{n+1}}.

Et on voit bien que pour tout entier n\ge1 on a , 4$\blue\fbox{\left|\;R_n\;\right|\;\le\;\frac{\ell n(n)+1}{n+1}} et donc que 5$\red\fbox{\lim_{n\to+\infty}\;R_n\;=\;0} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
infophilere : Nature d'une série .. 15-04-08 à 18:13

Comme le fait remarquer robby, on dit Maître Ehlor

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nature d'une série .. 15-04-08 à 18:45

merci infophile , mais c'est trop pour moi

Posté par
lyonnaisre : Nature d'une série .. 15-04-08 à 19:18

Juste un truc que je ne comprends pas. On a :

4$\rm \forall n\in\mathbb{N},\;u_n=\fr{(-1)^n}{n}\Bigsum_{k=1}^{\fbox{n}}\fr1k

Donc avec les notations de Elhor :

4$\fbox{S_n=\Bigsum_{k=1}^{n}u_k=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k}\Bigsum_{i=1}^{k}\frac{1}{i}}

Donc au départ, la transformation ne donne pas :

4$\fbox{S_n=\Bigsum_{i=1}^{\fbox{n}}\;\frac{1}{i}\;\underb{\fbox{\Bigsum_{k=i}^{n}\;\frac{(-1)^k}{k}}}_{a_{n,i}}}

Mais :

4$\fbox{S_n=\Bigsum_{i=1}^{\fbox{k}}\;\frac{1}{i}\;\underb{\fbox{\Bigsum_{k=i}^{n}\;\frac{(-1)^k}{k}}}_{a_{n,i}}}

Non ?
enfin, après, ça change peut-être rien :D

C'étais juste histoire de faire une petite critique sur cette magnifique démo

( je peux me tromper en plus )

Posté par
lyonnaisre : Nature d'une série .. 15-04-08 à 19:21

Je retire ce que j'ai dis :D

i varie bien de 1 à n ( je n'ai pas pris en compte l'intervertion somme/somme )

Bonne soirée

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nature d'une série .. 15-04-08 à 19:55

C'est pas grave lyonnais (les erreurs j'en commmets tous les jours que dieu a fait)

Juste pour conclure :

5$\fbox{-\int_{0}^{1}\;\frac{\ell n(1+x)}{x(1+x)}dx\;=\;\int_{0}^{1}\;\frac{\ell n(1+x)}{1+x}dx\;-\;\int_{0}^{1}\;\frac{\ell n(1+x)}{x}dx}

la première se calcule facilement et vaut 4$\fbox{\frac{\ell n^2(2)}{2}}

6$\fbox{\int_{0}^{1}\;\frac{\ell n(1+x)}{x}dx\;=\;\int_{0}^{1}\;\left(\;\frac{\ell n(1+x)}{x}\;-\;b_n(x)\;\right)dx\;+\;\Bigsum_{i=1}^{n}\;\frac{(-1)^{i-1}}{i^2}}

Posté par
lyonnaisre : Nature d'une série .. 15-04-08 à 20:09

Par contre, pour calculer la somme :

\Large{\sum_{i=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{i-1}}{i^2}

Je vois bien un moyen, c'est de se baser sur :

\Large{\fbox{\sum_{i=1}^{+\infty} \frac{1}{i^2} = \frac{\pi^2}{6}}

\Large{\sum_{i=1}^{+\infty} \frac{1}{i^2} = \frac{\pi^2}{6} = \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{1}{(2i+1)^2} + \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{1}{(2i)^2}

D'où :

\Large{\sum_{i=0}^{+\infty} \frac{1}{(2i+1)^2} = (1-\frac{1}{4}).\frac{\pi^2}{6}

De même :

\Large{\sum_{i=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{i-1}}{i^2} = \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{1}{(2i+1)^2} - \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{1}{(2i)^2} = (1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}).\frac{\pi^2}{6}

D'où :

\Large{\fbox{\sum_{i=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{i-1}}{i^2} = \frac{\pi^2}{12}}

Vous voyez une autre méthode ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nature d'une série .. 15-04-08 à 20:36

Bravo lyonnais !!! , c'est exactement à quoi je pensais (une petite erreur d'initialisation d'indice , mais notre modérateur peut arranger ça)

Posté par
robby3re : Nature d'une série .. 15-04-08 à 20:59

c'est un festival de belles formules ce topic!...

Citation :
Comme le fait remarquer robby, on dit Maître Ehlor

>aprés un topic comme ça,on comprend mieux pourquoi
Bonne soirée

Posté par
tealcre : Nature d'une série .. 15-04-08 à 21:11

merci elhor, je n'avais pas vu l'astuce J'adore tes démonstrations ^^

Posté par
lyonnaisre : Nature d'une série .. 15-04-08 à 21:19

( Tu as raison pour l'indice, somme de i = 0 à +oo de 1/(2i)² c'est pas joli :D )

Sinon, je savais bien que j'avais vu une autre méthode (impossible à trouver certes si on ne connait pas !)

On développe en série de Fourier la fonction f 2pi périodique coïncidant avec x --> cos(ax) sur [-pi,pi]. Où a est un réel non entier.

On obtient (par le théorème de convergence normale) :

5$ f(x) = \frac{sin(a\pi)}{a\pi}.(1+2a^2\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2-a^2})

Je laisse terminer qui voudra :D

A bientôt

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nature d'une série .. 16-04-08 à 02:07

Oui ! Mais là , si je ne me trompe , on utilise quand même un résultat assez fort (admis d'ailleurs , je crois , en classes préparatoires) qu'est le théoème de Dirichlet ,
qui assure la convergence , en tout réel x , de la série de Fourier d'une fonction f:\mathbb{R}\to\mathbb{K} , périodique et C^1 par morceaux , vers la valeur moyenne \frac{f(x^-)+f(x^+)}{2} .



Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nature d'une série .. 16-04-08 à 03:35

Un moyen qui me paraît plus élémentaire :

\fbox{1} En utilisant la double intégration par parties 4$\fbox{\int\;uv''\;=\;[\;uv'\;-\;u'v\;]\;+\;\int\;u''v} on commence par établir que ,
pour tout entier non nul k et tout réels a et b , on a 5$\fbox{\int_{0}^{1}\;(at^2+bt)cos(k\pi t)dt=\frac{(2a+b)(-1)^k-b}{\pi^2k^2}}

et en prenant 3$\blue\fbox{\fbox{a=-\frac{\pi^2}{2}}} et 3$\blue\fbox{\fbox{b=\pi^2}} on voit que pour tout entier non nul k on a , 5$\blue\fbox{\;\int_{0}^{1}\;(-\frac{\pi^2}{2}t^2+\pi^2t)cos(k\pi t)dt\;=\;-\frac{1}{k^2}}


ce qui donne , pour tout entier naturel non nul n , 6$\blue\fbox{\int_{0}^{1}\;(-\frac{\pi^2}{2}t^2+\pi^2t)\left(\;\frac{1}{2}+\Bigsum_{k=1}^{n}cos(k\pi t)\;\right)dt\;=\;\underb{\fbox{\frac{\pi^2}{6}\;-\;\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}}}_{R_n}\;}.


\fbox{2} En utilisant les complexes on montre que pour tout réel 4$\fbox{t\in]0,1]} on a , 5$\fbox{\frac{1}{2}+\Bigsum_{k=1}^{n}cos(k\pi t)\;=\;\frac{sin((2n+1)\frac{\pi t}{2})}{2sin(\frac{\pi t}{2})}}

d'où pour tout entier n\ge1 on a 6$\blue\fbox{R_n\;=\;\int_{0}^{1}\;\underb{\fbox{\frac{\pi^2(2t-t^2)}{4sin(\frac{\pi t}{2})}}}_{f(t)}sin((2n+1)\frac{\pi t}{2})dt}

\fbox{3} En fin , avec \fbox{f(0)=\pi} , on vérifie assez facilement que f est C^1 sur [0,1] et puis que 6$\red\fbox{R_n\displaystyle\to_{n\to+\infty}\;0} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
jeansebre : Nature d'une série .. 16-04-08 à 07:43

Bonjour

Il y a quelque temps,Cauchy avait donné un lien sur un document (en anglais me semble-t-il) recensant 14 démonstrations différentes de ce résultat. Un des écrits du Capes de l'an dernier commençait par une de ces démonstrations (avec des cotangentes²).

Posté par
gui_toure : Nature d'une série .. 16-04-08 à 11:18

Pfiou, chapeau Maître Elhor !

La série de Romain de 20h09 (\Large{\sum_{i=1}^{+\infty}%20\frac{(-1)^{i-1}}{i^2})je l'avais calculée en DS ^^

Ma remarque :

Citation :
Dans l'encadré : 4$\fbox{\left|\;\ell%20n(1+x)\;-\;\Bigsum_{i=1}^{n}\;\frac{(-1)^{i-1}x^{i}}{i}\;\right|\;\le\;\frac{x^{n+1}}{n+1}}
ce ne serait pas plutôt : 4$\fbox{\left|\;\ell%20n(1+x)\;-\;\Bigsum_{i=1}^{n}\;\frac{(-1)^{i-1}x^{\fbox{i-1}}}{i}\;\right|\;\le\;\frac{x^{n+1}}{n+1}} ?


vient du fait que dans l'encadré précédent, il est écrit 3$x^{i-1 (dans le 3$b_n(x)):

6$\fbox{S_n=\underb{\fbox{\left(\;\Bigsum_{i=1}^{n}\;\frac{1}{i}\;\right).\int_{0}^{1}\;\frac{(-x)^n}{1+x}dx}}_{R_n}\;-\;\int_{0}^{1}\;\frac{\overb{\fbox{\Bigsum_{i=1}^{n}\;\frac{(-1)^{i-1}\fbox{\fbox{x^{i-1}}}}{i}}}^{b_n(x)}}{1+x}dx}

Festival de \LaTeX

Posté par
gui_toure : Nature d'une série .. 16-04-08 à 11:23

Jeanseb >

Citation :
recensant 14 démonstrations différentes de ce résultat.


Si tu parles de celui là : 4$\rm\Bigsum_{n\ge1}\fr{1}{n^2}=\fr{\pi^2}{6 alors un lien français est

J'avais aussi crée un topic , Série de termé général 1/n² où Frenicle donne un lien de 14 démos :

Posté par
lyonnaisre : Nature d'une série .. 16-04-08 à 12:38

Belle preuve Elhor, merci de nous l'avoir fait partager

Sinon oui tu as raison, on a admis le théorème de Dirichlet. (Qui est d'ailleurs surpuissant ^^)

Salut gui_tou et merci pour les liens :D

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nature d'une série .. 13-01-09 à 13:16

Je remonte ce topic pour un petit détail :

tealc >> ,

Pour montrer que 4$\fbox{R_n=\left(\Bigsum_{i=1}^n\frac{1}{i}\right).\int_0^1\frac{(-x)^n}{1+x}dx} tend vers 0 on peut aussi écrire 4$\fbox{\left|R_n\right|\le\frac{1}{n+1}\left(\Bigsum_{i=1}^n\frac{1}{i}\right)} et utiliser Césaro



et une petite généralisation :

Intervalle de convergence et somme de la série entière réelle 6$\blue\fbox{\Bigsum_{n\ge1}\frac{1}{n}\left(\Bigsum_{k=1}^n\frac{1}{k}\right)x^n}

Posté par
gui_toure : Nature d'une série .. 16-01-09 à 20:32

Bonsoir Elhor,

Pour le rayon de convergence, je propose 3$\red\fbox{ R=1 en vertu du lemme d'Abel.

Je réfléchis pour la somme, je vais essayer d'utiliser 3${4$\fr1k}=\Bigint_0^1x^{k-1}dx

Merci !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nature d'une série .. 20-03-09 à 19:10

Oui gui_tou on a bien 3$\red\fbox{R=1} car la série est semi convergente pour x=-1 et du coup l'intervalle de convergence est 3$\red\fbox{[-1,1[}

pour la somme en posant 3$\fbox{\forall x\in[-1,1[\\f(x)=\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{H_n}{n}x^n} il est assez facile de montrer que 4$\blue\fbox{\forall x\in]-1,1[\;,\;f^'(x)=-\frac{\ell n(1-x)}{x(1-x)}}

d'où 4$\red\fbox{\forall x\in[-1,1[\;,\;\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\left(\Bigsum_{k=1}^n\frac{1}{k}\right)x^n=\frac{1}{2}\ell n^2(1-x)-\int_0^x\frac{\ell n(1-t)}{t}dt} sauf erreur bien entendu

Posté par
gui_toure : Nature d'une série .. 24-03-09 à 23:09

Merci de poursuivre Elhor

Ralala j'écrivais beaucoup de bêtises l'année dernière

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nature d'une série .. 24-03-09 à 23:56

Ne t'en fais pas gui_tou ! Les bêtises on en a tous écrit :D

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