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Nature d'une série
Bonsoir à tous j'ai du mal à trouver la nature de cette série 
Un, tel que Un= (1+1/n)n-e
La démarche : Montrer que Un 
0 (n +
). Sinon on dit que la série diverge grossièrement.
Puis montrer la nature de Un
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J'ai essayé de passer par le développement limité mais je n'arrive pas à montrer que Un tend vers 0. Et je ne vois pas la démarche pour dire que la série converge ou pas.
Merci de votre aide.
Salut 
Par définition même de e, U(n) converge vers 0. Maintenant si on ne veut pas être un puriste, on peut se contenter de mettre (1+1/n)^n sous forme exponentielle.
Pour la nature de la série, après la mise sous forme exponentielle, on peut effectivement faire un DL.
Merci Nightmare 
, donc pour montrer Un0 je fais :
(1+1/n)n= en(ln(1+1/n))
Or ln(1+1/n) est équivalent à 1/n
J'ai alors en(1/n)=e
D'ou Un est équivalent à (e-e)=0
Conclusion: Un0
Pour la nature de la série je vois pas trop comment, si ce n'est refaire la même chose...
aïe !
Ne jamais écrire que quelque chose est équivalent à 0, tu risques de te faire taper sur les doigts !
Lorsque tu as montré que ln(1+1/n) est équivalent à 1/n, tu as donc directement la converge vers e. Et donc ta suite converge vers e-e=0.
Pour la nature, passe par les DL (ça évitera d'écrire des grossièretés comme "équivalent à 0" 
)
Je sens que je vais dire un grosse bêtise mais bon ca fait avancer donc bon :
En utilisant le Dl :
(1+n)n = 1 + n(1/n) +o(1/n) = 2 + o(1/n)
(1+n)n - e = 2 - e + 0(1/n)
1 tel que nUn
Donc (1/n) = o(2-e) 
(2-e) diverge car (1/n) diverge pour 1 d'après Riemann.
Belle bêtise ?
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