Niveau Licence Maths 1e ann

nature d'une série

Posté par
manuella 04-11-08 à 17:59

Salut à tous!
j'ai un problème avec cet exercice sur les séries. en fait ,il s'agit de déterminer la nature de la série de terme général: u_n= 1/(ln n)^(ln n)
en transformant u_n, j'obtiens: u_n = n^(lnln(n)) ,mais là je bloque. quelqu'un peut-il m'éclairer? merci d'avance.

Posté par re : nature d'une série 04-11-08 à 18:02

salut

tu peux montrer que $3$n^2u_n\longright_{n\to+\infty}0$ donc $3$u_n=o$\fr{1}{n^2}$$

Tu peux conclure

Posté par re : nature d'une série 04-11-08 à 18:07

Par contre je pense que tu voulais dire : j'obtiens $3$u_n={4$e^{\ell n(n)\times\ell n(\ell n(n))}$

Posté par re : nature d'une série 04-11-08 à 18:31

En fait c'est le dénominateur de u_n qui me donne n^(ln(ln(n))) ( j'ai fait :[ln n][ln n]=(exp(ln n))^ln(ln(n))=(n)^lnln(n).)
Pour appliquer ce que tu as dit pour (n^2)*u_n ,j'ai utilisé la propriété selon laquelle exponentielle l'emporte sur puissance. est-ce la bonne méthode pour le prouver? de toute façon cela m'a donné une limite nulle comme tu l'as dit.
Je peux dire que, puisque la série de terme général 1/n^2 converge , la série de terme général u_n converge aussi. non?
encore une chose. stp peux tu m'interpréter ta notation : un=0(1/n^2)?
on ne l'a pas vu en cours sauf lorsqu'on faisait les dévelloppements limités.
merci beaucoup pour ton aide!!

Posté par re : nature d'une série 04-11-08 à 18:46

Ah oui pardon, au temps pour moi, on a bien aussi $3$u_n={5$\fr{1}{n^{\ell n(\ell n(n))}$

Citation :
Pour appliquer ce que tu as dit pour (n^2)*u_n ,j'ai utilisé la propriété selon laquelle exponentielle l'emporte sur puissance. est-ce la bonne méthode pour le prouver?

Oui, tu pouvais aussi dire $3$n^2u_n={5$\fr{n^2}{n^{\ell n(\ell n(n))}}=\fr{e^{2\ell n(n)}}{e^{\ell n(n)\times\ell n(\ell n(n))}}=e^{2\ell n(n)-\ell n(n)\times\ell n(\ell n(n))\longright_{n\to+\infty}0$

Citation :
Je peux dire que, puisque la série de terme général 1/n^2 converge , la série de terme général u_n converge aussi. non?

Oui toutafé

Les arguments pour prouver la convergence de notre série sont :

¤ $3$u_n=o$\fr{1}{n^2}$$ (u_n est négligeable devant 1/n² en l'infini)

¤ $3$\forall n\ge1\;\fr{1}{n^2}\ge0$ (on travaille avec des séries à termes positifs)

¤ $3$\Bigsum_{k\ge1}{4$\fr{1}{k^2$ converge (règle de Riemann, 2>1)

Donc la série de terme général u_n converge

D'ailleurs, ton écriture $3$u_n={5$\fr{1}{n^{\ell n(\ell n(n))}$ est très intéressante ! En effet, à partir d'un certain rang n₀, on aura $3$\forall n\ge n_0,\;\ell n(\ell n(n))\ge2$ ( on a $3$n_0=[e^{e^2}]+1=[1618,18]+1=1619$ )

Ainsi, $3$\forall n\ge n_0\;0\le u_n\le \fr{1}{n^2$

et par théorème de comparaison, $3$\Bigsum_{n\ge n_0}u_n$ converge, donc $3$\Bigsum_{n\ge 2}u_n$ converge.

______________________

la notation $3$u_n=o$\fr{1}{n^2}$$ signifie qu'au voisinage de l'infini, $3$\lim_{n\to+\infty}\ \fr{u_n}{\fr{1}{n^2}}=0$

Posté par re : nature d'une série 05-11-08 à 16:39

salut Gui_tou!
désolée de ne répondre que maintenant j'ai eu un problème de connection hier.
merci pour les explications et surtout pour cette notation que je ne connaissais pas. j'y vois plus claire maintenant. merci beaucoup pour ton aide!!!

Posté par re : nature d'une série 05-11-08 à 16:42

Mais je t'en prie $3$\mathcal Manuella$

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