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Nature d'une série
Bonjour, voilà j'ai un exercice sur lequel je sèche :
Etudier la nature de la série de terme général
Voici comment j'ai procédé :
En voyant le terme et que
ne change pas de signe tout les pour chaque valeur de n j'ai oublié le critère spéciale à certaines série alternées et j'ai penché pour un développement asymptotique, que voici :
Mon problème étant de trouver maintenant la nature de ces différentes séries. En espérant ne pas en avoir deux divergentes car à ce moment là je ne saurait conclure.
Quelqu'un pourrait-il m'aider à définir la nature de 
?
Je pense passer par la convergence absolue pour en déduire la convergence étant dans un espace complet.
J'ai essayé :
=> les règles de comparaisons mais rien n'y fais mes encadrements snt trop grossier ( à gauche et Ln(n) à droite)
=> Règle de d'Alembert mais ça converge vers 1
=> Pas semblable à des séries usuelles (Riemann, Berthrand, exponentielle, géométrique)
=> Aucun équivalent trouvé
Voilà si quelqu'un a une idée je suis preneur.
Et, surtout si quelqu'un vois une meilleur méthode que le développement asymptotique le je dis "Houra !"
Cordialement Fitch
Bonsoir Fitch
Ta série est absolument convergente. Essaie de majorer le ln(n) (visualise le graphe de la fonction logarithme et un majorant simple te viendra à l'esprit de manière évidente). Un petit coup de d'Alembert devrait permettre de conclure...
Pour ce qui est de la série initiale mets des valeurs absolues, ça sera plus simple.
Et utilise l'inégalité triangulaire inversée:
|x+y|>=||x|-|y||
tu pourra majorer le module du terme général de ta série en minorant le dénominateur. (attention cela ne sera valable que pour n>1 mais osef, ça ne change pas la convergence).
Tu peux conclure de la même manière que je t'ai dit avant.
Alors là je dis "Monstrueux !" C'est énorme j'ai du y passer 3 bonnes heures à remuer ça dans tout les sens. Enfin du moins c'est ce que je croyais, et là grâce à toi je l'ai plié en deux temps trois mouvement. Un grand merci.
En tout cas pour la visualisation c'était tout simplement génial, j'oublie trop souvent de me représenter les fonctions . . .
Bonsoir,
Tu as écrit :
u_n ne change pas de signe tout les pour chaque valeur de n
Mais si, mais si, (-2)n est > 0 pour tous les n pairs, et < 0 pour tous les n impairs, donc pour n assez grand ta série est bien alternée, et pour n assez grand, |Un+1|/|Un|
1/2, le terme général est décroissant en v.a. et tend vers 0, donc la série converge...
Maintenant, il est aussi vrai comme l'a remarqué Foxdevil que la série est aussi absolument convergente, mais c'est un peu plus délicat à démontrer...
Euh 
j'ai fait une bavure en recopiant la série c'est :
et non pas
Par contre pour le développement asymptotique j'ai pas fait d'éerreur et je suis bien parti de la bonne expression, pour ta deuxième astuce Foxdevil je l'ai essayé sur la "série bavure" et c'est nickel en effet n = 1 implique un dénominateur nulle mais vue qu'on étudie la convergence on peut prendre n assez grand 
LeHibou ta réponse s'applique tout de même à car 2^n > n donc (-2)^n dicte son signe à n.
Par contre je ne vois pas comment tu arrive à montrer que |Un+1|/|Un| 1/2
Sinon pour montrer qu'elle converge vers 0 je pense l'avoir réussi.
Il faut d'abord montrer que quand n -> +
, on a ln(n+1)/ln(n) -> 1, ce qui se fait en écrivant ln(n+1) = ln(n(1+1/n) = ln(n) + ln(1+1/n) ln(n) + 1/n,
donc ln(n+1)/ln(n) 1 + 1/(nln(n)) -> 1
Ensuite il faut montrer que |(-2)n + n|/|(-2)n+1 + n+1| -> 1/2, ce qui se fait en mettant (-2)n en facteur au numérateur et (-2)n+1 en facteur au dénominateur :
|(-2)n +n|/|(-2)n+1 + n+1| = |(-2)n/(-2)n+1||1 + n/(-2)n|/|1 + (n+1)/(-2)n+1|
Et on sait que n/2n -> 0, (n+1)/2n+1 -> 0, donc il reste :
|(-2)n +n|/|(-2)n+1 + n+1| |(-2)n/(-2)n+1| = 1/2
Donc pour n assez grand |Un+1|/|Un| 1/2, D'Alembert s'applique et la série est absolument convergente.
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