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nature d'une série

Posté par
g_la_grat 04-01-10 à 23:03

Bonsoir et bonne année à tous et à toutes avec un peu de retard en vous souhaitant mes meilleurs voeux, ainsi que la santé c'est important.

Pourriez vous me donner une indication précieuse qui pourrait m'aider à trouver la nature des séries de terme général :

1) u_n = \frac{1}{(ln (n))^{ln (n)}

2) v_n = \frac{1}{n^{2- cos(\frac{1}{n})}}

Merci beaucoup

Posté par
Foxdevilre : nature d'une série 04-01-10 à 23:58

Bonsoir,

Pour la 1) tu peux majorer ln(n) par n (on va dire que la série commence au rang 2). Tu as u_n=\frac{1}{{ln(n)}^{ln(n)}} \le \frac{1}{{ln(n)}^{n}}. Et la règle de Cauchy permet de conclure.

Pour la 2), tu as cos(1/n)<1/2.....que peux-tu en conclure?

Posté par
g_la_gratre : nature d'une série 05-01-10 à 00:23

Bonsoir merci pour tes réponses Foxdevil. Cependant je suis un peu dubitatif :

1) si on majore ln(n) par n alors on va avoir une minoration de un par 1 / (ln n)^n pour n plus grand que 3 et donc ça foire ... Je me dis qu'il faut peut etre démontrer que un = o(1/n²) ..

2) 0 < 1/n < 1 et donc cos(1) < cos(1/n) < 1 ...

Posté par
g_la_gratre : nature d'une série 05-01-10 à 13:38

Bonjour,

1) Selon Mathematica ca converge, je me disai il suffit de comparer à une série de Riemann convergente.

la limite de n^{2}u_n est 0 (ça parait net car l'exponentielle l'emporte sur les puissances mais j'ai du mal à bien le rédiger proprement..) et donc on arrive à conclure une majoration de u_n par \frac{1}{n^2^}.

2) Visiblement la série diverge car v_n a pour équivalent \frac{1}{n} et hop on utilise théorème de comparaison!est-ce juste ou faut -il être plus précis avec un DL ?

Merci

Posté par
Foxdevilre : nature d'une série 05-01-10 à 13:43

Oula, tu as raison g_le_q_ki_grat, ce que j'ai écris est totalement inexact. Je m'excuse...

Posté par
g_la_gratre : nature d'une série 05-01-10 à 14:12

c'est pas grave Foxdevil ça arrive toujours dur ce début d'année

Posté par
Dcamdre : nature d'une série 05-01-10 à 14:52

Bonjour, pour la première (Déjà eu cette série à étudier):

u_n=\frac{1}{ln(n)^{ln(n)}} = ln(n)^{-ln(n)}=e^{-ln(n)ln(ln(n))}=n^{-ln(ln(n))}=\frac{1}{n^{ln(ln(n))}

Apparemment, ç'est positif et majoré par 1/n². (Je ne comprends cependant pas bien cette majoration)
Par comparaison ça converge.

Posté par
Dcamdre : nature d'une série 05-01-10 à 15:00

Pour la deuxième:

1/n tend vers 0 en l'infini.

Donc cos(1/n)=1-\frac{1}{2n^2}+o(1/n^2)

v_n=\frac{1}{n^{2-1+\frac{1}{2n^2}+o(1/n^2)}}
v_n=\frac{1}{n^{1+\frac{1}{2n^2}+o(1/n^2)}}
En l'infini v_n \sim \frac{1}{n}

Donc je tendrais pour la déclarer divergente.

Ca se tient ?

Posté par
g_la_gratre : nature d'une série 05-01-10 à 15:12

Bonjour et merci beaucoup, je suis d'accord pour la 2 ça se tient , la première j'avais penser à faire cette transformation là aussi et à majorer par 1/n².. cependant oui c'est bizarre car pour n très grand (genre n = 10000), la majoration ne tient plus la route ... étrange et par une autre méthode je trouve effectivement cette majoration

Posté par
Dcamdre : nature d'une série 05-01-10 à 15:16

Dans la correction que j'ai pour la première (C'est tombé lors d'un partiel), il est dit "à partir d'un certain rang". Donc si ça n'est pas totalement vrai c'est bizzare.

Pour la deuxième, Cool !

Posté par
g_la_gratre : nature d'une série 05-01-10 à 15:22

la suite (ln(ln n)) tend vers 2.2202 à la calculatrice

Posté par
Dcamdre : nature d'une série 05-01-10 à 15:23

C'est bon à savoir !

Posté par
g_la_gratre : nature d'une série 05-01-10 à 15:24

jusqu'au rang 1618 c'est vrai lol

Posté par
carpediemre : nature d'une série 05-01-10 à 15:30

salut

la suite ln(ln n)) tend vers + par composée de fonctions croissantes et non majorées donc dépasse 2 "à partir d'un certain rang"

donc nln(ln n)>n2 à partir d'un certain rang

bien amicalement et_le_doigt_qui_pue

Posté par
g_la_gratre : nature d'une série 05-01-10 à 15:30

la limite de n²un ça fait 0 j'ai réussi à la prouver donc c'est ça qui doit expliquer la majoration, mais c'est vrai que c'est quand même marrant

Posté par
g_la_gratre : nature d'une série 05-01-10 à 15:33

merci carpediem et merci pourcette tranche d'humour .. oué à partir d'un certain rang c'est clair  donc avant le rang 1618 alors ^^

Posté par
g_la_gratre : nature d'une série 05-01-10 à 15:34

ah ben oui après, oué je suis complètement à la masse ok ok ^^

Posté par
g_la_gratre : nature d'une série 05-01-10 à 15:45

Merci pour tout !

Cette série converge vers à peu près 5,71696, ce qui à priori ne sert à rien à part avoir un chiffre

Posté par
Dcamdre : nature d'une série 05-01-10 à 16:02

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