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Nature de séries numériques

Posté par
sami-dh 16-11-09 à 20:48

Salut

J'ai fait un exo sur les séries numériques mais il me reste quelques séries dont j'arrive pas à déterminer la nature;voici leurs termes générales:

u_n=\frac{1+3^n}{2^{n^2}}
u_n=\frac{ln(n+\sqrt{n})}{n^2} \\
u_n=4^{-n}\times(\frac{n+1}{n})^{n^2} \\
u_n=n\times sin(\frac{\pi}{2^n})

Merci pour l'aide

Posté par
verdurinre : Nature de séries numériques 16-11-09 à 22:58

Bonsoir

Pour 3$u_n=\frac{1+3^n}{2^{n^2}} on peut remarquer que n^2>2n pour n>2  et donc que 3$ u_n <\frac{1+3^n}{4^{n} pour n>2 ce qui permet de conclure.

Pour 3$u_n=\frac{\ln(n+\sqrt{n})}{n^2}  on a \ln(n+\sqrt{n})< \ln(2n)<\ln2 + \sqrt{n} et on conclu avec les séries de Riemann

Pour 3$u_n=4^{-n}\times\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^2} j'ai pas d'idée

Pour 3$u_n=n\times \sin\left(\frac{\pi}{2^n}\right)  on a 0<\sin\left(\frac{\pi}{2^n}\right)<\frac\pi{2^n} ce qui permet de conclure.

Posté par
sami-dhre : Nature de séries numériques 16-11-09 à 23:04

Merci beaucoup ^^

Posté par
Foxdevilre : Nature de séries numériques 16-11-09 à 23:05

Pour la 3, le terme général est équivalent à une forme bien connue. n+1/n à la puissance n, ça ne te dit rien?

L'équivalent permet de passer au puissance donc l'autre n à la puissance ne gène pas.

Et puis série géométrique.....

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nature de séries numériques 16-11-09 à 23:13

On a 0\le\ell n(1+\frac{1}{n})\le\frac{1}{n} donc 0\le n^2\ell n(1+\frac{1}{n})\le n donc 0\le(1+\frac{1}{n})^{n^2}\le e^n donc 0\le4^{-n}(1+\frac{1}{n})^{n^2}\le(\frac{e}{4})^n sauf erreur bien entendu

Posté par
sami-dhre : Nature de séries numériques 16-11-09 à 23:28

Salut

merci beaucoup  ^^

Pour la première est ce qu'il faut passer par les équivalents simples ou il y a une autre méthode ?

Merci

Posté par
verdurinre : Nature de séries numériques 16-11-09 à 23:37

Citation :
Pour la première est ce qu'il faut passer par les équivalents simples ou il y a une autre méthode ?


si tu as un équivalent simple c'est la meilleure méthode, pour ma part je n'en vois pas. D'où l'idée de majorer par une série convergente triviale.

Posté par
sami-dhre : Nature de séries numériques 16-11-09 à 23:51

Oui c'est vrai y en a apperement pas ^^


Sinon on a pas vu les séries de Riemann pour le deuxième exemple y a t il une autre façon ?

merci

Posté par
verdurinre : Nature de séries numériques 16-11-09 à 23:59

Sans parler de  séries de Riemann, j'imagine que que l'on vous a dit que la série de terme général \frac1{n^\alpha} est convergente ssi \alpha>1, par exemple par comparaison avec une intégrale.
C'est la propriété à utiliser ici.


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