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Nature de séries, petit o...

Posté par
mey 01-11-08 à 15:28

Bonjour, je fais un exercice qui consiste à trouver la nature de la série:
n5/2exp(-n3/2)
selon moi pour n'importe quel on aura toujours le limite de n*(n5/2exp(-n3/2)) égale à 0 donc d'après Riemann la série converge mais la correction explique que
n5/2exp(-n3/2)=o(1/n²)
comment arrive t-on à ce résultat? merci à ceux qui voudront bien m'aider!

Posté par
gui_toure : Nature de séries, petit o... 01-11-08 à 15:33

Bonjour

Citation :
on aura toujours le limite de n*(n5/2exp(-n3/2)) égale à 0 donc d'après Riemann la série converge mais la correction explique que


Euh 1/n tend vers 0 mais la série des 1/n diverge ... que vient faire Riemann ?

4$\fr{n^{5/2}\exp(-n^{3/2})}{\fr{1}{n^2}}{3$=n^{9/2}\exp(-n^{3/2})\ \longright_{n\to+\infty}\ 0

3$n^{5/2}\exp(-n^{3/2})=o\(\fr{1}{n^2}\)\\\fr{1}{n^2 }\ge0\\\Bigsum_{n\ge1}\fr{1}{n^2}\ \rm{converge  donc  3$\Bigsum_{n\ge1}n^{5/2}\exp(-n^{3/2})\ \rm{converge

sauf erreur

Posté par
jeansebre : Nature de séries, petit o... 01-11-08 à 15:36

Bonjour

n².[n5/2. exp(-n3/2)] = n9/2. exp(-n3/2) qui tend vers 0 qd n tend vers oo


donc ce qui est entre crochets est un o(1/n²) par définition.

Posté par
jeansebre : Nature de séries, petit o... 01-11-08 à 15:37

Salut Guitou

Posté par
gui_toure : Nature de séries, petit o... 01-11-08 à 15:39

Ah ok je viens de comprendre !

Citation :
selon moi pour n'importe quel on aura toujours le limite de n*(n5/2exp(-n3/2)) égale à 0


Oui toutafé ! et si c'est valable quel que soit 3$\alpha\in{\bb R} c'est en particulier valable pour 3$\alpha >1. En effet, pour 3$\alpha >1 on peut utiliser la règle de domination que j'ai énoncée.

La correction a choisi de prendre 3$\alpha =2 mais on aurait pu prendre 3$\alpha =3/2 etc.

Si on avait pris 3$\alpha \le1 on n'aurait pas pu conclure ..

Posté par
gui_toure : Nature de séries, petit o... 01-11-08 à 15:39

Salut Jeanseb !

Posté par
meyre : Nature de séries, petit o... 01-11-08 à 15:47

Donc j'aurais pu utiliser ma méthode en fixant un supérieur à 1? Enfin cela équivaut à leur correction alors?
Désolé gui_tou si je n'ai pas été assez claire dans mon énoncé.

Posté par
gui_toure : Nature de séries, petit o... 01-11-08 à 15:54

oui il suffisait de prendre n'importe quel alpha strictement supérieur à 1. Ensuite, pour rédiger correctement, il faudrait préciser :

3$n^{5/2}\exp(-n^{3/2})=o\(\fr{1}{n^{\alpha}}\)\\\fr{1}{n^{\alpha}}\ge0\\\Bigsum_{n\ge1}\fr{1}{n^{\alpha}}\ \rm{converge (critere de Riemann, \alpha>1)

Posté par
meyre : Nature de séries, petit o... 01-11-08 à 16:05

Merci beaucoup pour les explications! Mais j'ai une autre question.
On a la série de terme Tn=[(-1)n]/ ( n + 1 + (-1)n(n)1/2)1/2
On sait que ce terme équivaut à (-1)n/n1/2
on pose alors la différence Tn-(-1)n/n1/2 qui doit être égale à -1/2n, je n'arrive pas à trouver la méthode pour aboutir à ce résultat :s

Posté par
gui_toure : Nature de séries, petit o... 01-11-08 à 21:01

3$T_n={4$\fr{(-1)^n}{\sqrt{n+1+(-1)^n\sqrt n}}={4$\fr{(-1)^n}{\sqrt{n}\sqrt{1+\fr1n+\fr{(-1)^n}{\sqrt n}}

Donc sauf erreur, 3$T_n-{4$\fr{(-1)^n}{\sqrt n}=\fr{(-1)^n}{\sqrt n}\(\fr{1}{\sqrt{1+\fr1n+\fr{(-1)^n}{\sqrt n}}}-1\)\not=-\fr{1}{2n}

Le mieux est de faire un développement limité de Tn :

3$T_n={4$\fr{(-1)^n}{\sqrt{n}\sqrt{1+\fr1n+\fr{(-1)^n}{\sqrt n}}}=\fr{(-1)^n}{\sqrt n}\(1+\fr1n+\fr{(-1)^n}{\sqrt n}\)^{-1/2}=\fr{(-1)^n}{\sqrt n}\(1-\fr12(\fr1n+\fr{(-1)^n}{\sqrt n})+\fr38(\fr1n+\fr{(-1)^n}{\sqrt n})^2+o(\fr1n)\)

je te laisse terminer


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