Salut

par Riemann, la série est convergente si n est supérieur à 1. >> Ca n'a pas trop de sens ça...^^ n parcourt l'ensemble des entiers naturel, il n'est pas fixé. En clair, n est un indice muet, n n'existe donc pas...^^ Tu peux pas utiliser Riemann.
En fait, ta suite (u_n) tend très vite vers 0. Il est donc plus judicieux de comparer à une série géométrique qu'utiliser des critères de comparaisons Riemanniens.

Bonjour,

Revois ton cours, le critère de Riemann fait une comparaison à 1/n, et c'est (fixe) qui doit être > 1...

Oui, je sais mais dans ce cas, avec .

Schumi : comment ça ? Le corrigé dit d'utiliser Riemann...

TU ne peux peux pas utiliser le critère de comparaison à une série de Riemann. Ou en tous cas, si c'est possible si c'est pas du tout comme tu le fais! Parce que pour comparer à une série de type Sigma(1/n^a) il faut que ton a soit fixe. Toi tu poses a=n, mais n varie!!!

Sauf erreur, lim (1+1/n)ⁿ = e, donc lim U_n+1/U_n = 1/e < 1, donc convergence...
Bon, d'accord, c'est d'Alembert et pas Cauchy

Oups, et pas Riemann...

Non, je me suis trompé pour le corrigé ; c'est : Pour n>=2, , d'où la convergence par la règle de Riemann. Désolé.

Je ne vois pas d'où sort...

Montre que  Un/(2/n²) = Un*n²/2 est < 1
Rappel : Un = n!/nⁿ = 1*2*...*n/(n*n*...n)

Autre approche, écris :
Un = 1*2*...*n/(n*n*...n) = (1/n)*(2/n)*...*((n-1)/n)* (n/n)
Ce que tu peux encore écrire :
Un = (1/n)*(2/n)*[(3/n)*...*(n/n)]
Et, en regroupant les deux premiers termes :
Un = (2/n²)*[(3/n)*...*(n/n)]
Tu vois que tous les termes entre [...] sont < 1 (sauf le dernier), donc le produit est < 1, donc Un < 2/n².

Et la série de terme général 1/n² est convergente...

Ceci dit, en reprenant l'exo, tu voulais comparer à 1/2ⁿ et non pas à 2/n²...
Mais j'ai bien l'impression qu'il y a un problème Par exemple, pour n = 4 :
U₄ = 4!/4⁴ = 24/256 = 0.09... et 1/2⁴ = 0,06...
Donc U₄ > 1/2⁴, ce qui n'est pas compatible avec ton corrigé.
Tu vérifies aussi de ton côté ?