Il vaudrait mieux que tu nous donnes un exemple où

"quand je m'arrête a l'ordre 1 je les trouver convergente mais finalement quand je prolonge l'ordre (a 3 par exemple) je trouve un terme qui diverge( le 3e par exemple) "

oui bien sur ,
la série de terme générale
Un=ln(1+(-1)ⁿ/racine(n))
premier terme du DL (-1)ⁿ/racine(n) ( série alterné convergente)
mais par contre le 2eme ( désolé je rectifie dans le 2eme pas le 3eme de tout facon ca n pas d'importance)  -1/(2n)  qui diverge

donc je sais pas vraiment a quel ordre je dois m'arrête , si je considéré que le premier terme du dl ( terme d'une série numérique) converge alors je conclue directement que la série est convergente mais cet exemple ma appris que je ne sais pas a quel ordre du DL dois-je m'arrêter

"si je considéré que le premier terme du dl ( terme d'une série numérique) converge alors je conclue directement que la série est convergente "

Une fausse manoeuvre m'a fait envoyer le bout de phrase "si je considéré que le premier terme du dl ( terme d'une série numérique) converge alors je conclue directement que la série est convergente " de ton dernier message.

Je crois que tu penses que si u et v sont 2 suites équivalentes les séries u et v sont de même nature. C'est vrai si u et v gardent un même signe à partir d'un certain entier.
C'est faux sinon . Ton exercice en fourni un (contre) exemple.
Pour t > -1 on a ln(1 + t) = t - t²/2 + t³(t) où est continue .
Pour n * ona u(n) = ln(1 + (-1)ⁿ.n^-1/2) = a(n) + b(n) + c(n) où a(n) = (-1)ⁿ.n^-1/2 , b(n) = 1/2n et c(n) = (-1)ⁿn^-3/2((-1)ⁿ.n^-1/2).
a est convergente (TH dit des "séries alternées") , c est convergente (car absolument convergente) mais B(n) = ₁ⁿ1/k + donc U(n) = ₁ⁿu(k) +

donc dans mon exemple je dois ne dois pas m'arrêter a l'ordre 1 car le 1er terme ne grade pas un signe constant,  c'est ca ?

autre et dernière question : donc si je m'arrête a l'ordre 2 , c'est suffisant non ?

merci de votre confirmation

Il faut que tu aies un O(terme général d'une série ABSOLUMENT convergente) à la fin.

Par exemple si tu as du O(1/n), c'est pas assez loin, il faut continuer.
(de même pour o(1/n) aussi d'ailleurs. )
si tu as du O(1/n^(3/2)) ou O(1/n^2), c'est bon

ici on a o(1/n^(3/2)) et 1/n^(3/2) , bon cette série est convergente mais on sait pas si elle l'est absolument ?