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Nature Série Numérique

Posté par
Sai-kun 27-09-09 à 18:19

Bonjour,

Comment déterminer la nature de la série numérique de terme général suivante :

u_n= \Bigint_{n}^{n+\fr12} \fr{dt}{\sqrt{t^2+4}},n\in\bb{N}

Merci d'avance,

Posté par
robby3re : Nature Série Numérique 27-09-09 à 18:21

Salut,
5$ \fbox{\Bigint \frac{dt}{\sqrt{t^2+2^2}}=ln(t+\sqrt{t^2+2^2})} sauf erreur

Posté par
Sai-kunre : Nature Série Numérique 27-09-09 à 18:23

Pas bête, j'avais pas pensé aux fonctions hyperboliques réciproques et leur écriture en log !

J'essaie ça et je te dit ce que ça donne.

Posté par
Sai-kunre : Nature Série Numérique 27-09-09 à 18:39

Re,

En fait il faut bidouiller un peu pour écrire ça, j'arrive à ça :

3$ u_n=[\ell n(\fr t2+sqrt{\fr{t^2}{4}+1})]

En calculant la primitive avec les bornes, j'obtient un truc moche, j'me sers de ln(a)-ln(b)=ln(a/b) mais ça n'a pas l'air d'être ça

Posté par
Sai-kunre : Nature Série Numérique 27-09-09 à 18:51

up ça descend vite

Posté par
robby3re : Nature Série Numérique 27-09-09 à 18:54

Equivalent
regarde en bas,je me suis planté de topic...j'espère que quelqu'un va pouvoir modifier ça!

Posté par
Sai-kunre : Nature Série Numérique 27-09-09 à 19:02

Je pense que ta primitive est fausse non ?
Et quand on calcule la primitive, les bornes doivent changer aussi non ?

je dis surement des bêtises ...

Posté par
Sai-kunre : Nature Série Numérique 27-09-09 à 19:17

up

Posté par
robby3re : Nature Série Numérique 27-09-09 à 19:30

je pense que ma primitive est correcte...

5$ \Bigint_n^{n+1/2}\frac{dt}{\sqrt{t^2+4}}=[ln(t+\sqrt{t^2+4})]_{n}^{n+1/2}=ln(n+\frac{1}{2}+\sqrt{n^2+n+\frac{1}{4}+4})-ln(n+\sqrt{n^2+4})=ln(n+\frac{1}{2}+n\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{4n^2}+\frac{4}{n^2}})-ln(n+n\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}) \\ \\ =ln(n(1+\frac{1}{2n}+\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{4n^2}+\frac{4}{n^2}})-ln(n(1+\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}) \\ \\ =ln(1+\frac{1}{2n}+\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{4n^2}+\frac{4}{n^2}})-ln(1+\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}) \\

aprés DL de (1+x)^{1/2}...

sauf erreur.

Posté par
ottore : Nature Série Numérique 27-09-09 à 19:32

Mais on cherche la somme de ces trucs là, non ?
Auquel cas il me semble que ce n'est pas si compliqué ...

Posté par
robby3re : Nature Série Numérique 27-09-09 à 19:33

Bonsoir Otto, il est probable que j'ai choisi l'option compliqué...

Posté par
Sai-kunre : Nature Série Numérique 27-09-09 à 19:35

Maple me dit que ta primitive est fausse

Posté par
Sai-kunre : Nature Série Numérique 27-09-09 à 19:36

Oui otto, tu proposes quoi ?

Posté par
Sai-kunre : Nature Série Numérique 27-09-09 à 19:56

up

Posté par
Sai-kunre : Nature Série Numérique 27-09-09 à 20:11

Je vais essayer d'y aller à coup de DL avec ma primitive.

Posté par
carpediemre : Nature Série Numérique 27-09-09 à 20:23

salut

pour t>k 1+4/t²<1+1/2 donc ... 0.5< (2/3)<1/(1+4/t²)

donc en factorisant par 1/t et à partir d'un certain rang k:

un> 0.5dt/t  (entre n et n+1/2)

donc en intégrant un>ln(1+1/2n) 1/2n + 1/n² *o(1)

1/2n donne une série divergente
1/n² * o(1) donne une série convergente

enfin, ce me semble-t-il (mais ça doit manquer de rigueur)...

Posté par
Sai-kunre : Nature Série Numérique 27-09-09 à 20:36

Salut carpediem

Il manque des parenthéses non ? Et à quoi sert le premier t>k ?

Posté par
carpediemre : Nature Série Numérique 27-09-09 à 20:41

où ça des ()

t>k pour dire que c'est vrai à partir d'un certain rang n (en fait n=k=3) donc que tu casses ta série en une somme finie (avant k) et après tes u[sub][/sub] sont minorés par une série divergente...

Posté par
Sai-kunre : Nature Série Numérique 27-09-09 à 20:48

Pardon, pas de (...) en effet, jolie méthode en effet, ça évite des DL bien bourrins (j'ai vite arrêté... )

Comment as-tu eu cette idée ? j'veux dire de faire cette minoration et cette transformation pour l'écriture de u_n  ?

Merci en tout cas

Posté par
carpediemre : Nature Série Numérique 28-09-09 à 19:10

parce que l'intégrande est "comme" 1/t lorsque t est grand ("au 4 près") mais en un peu plus grand donc j'ai supposé que ça divergeait et j'ai minoré...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nature Série Numérique 28-09-09 à 19:27

Bonjour à tous ;

on peut aussi écrire en utilisant la décroissance de 4$t\to\frac{1}{\sqrt{t^2+4}} sur 4$[0,+\infty[ :

4$\fbox{\frac{1}{2\sqrt{(n+\frac{1}{2})^2+4}}\;\le\;u_n\;\le\;\frac{1}{2\sqrt{n^2+4}}} et donc 5$\blue\fbox{u_n\;\displaystyle\sim_{n\to+\infty}\;\frac{1}{2n}} sauf erreur bien entendu

Posté par
carpediemre : Nature Série Numérique 28-09-09 à 19:45

salut elhor

idée encore plus simplissime...


(mon mien est plus petit: je ne peux rivaliser avec toi)

Posté par
Sai-kunre : Nature Série Numérique 28-09-09 à 21:00

Merci elhor pour cette idée


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