Méthode de Newton ou de Newton Raphson : c'est la même.
Pour la méthode en dimension 2, voir par exemple le §.5 de :
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Newton
Ton exemple :
Pour trouver les racines de f(x,y)=0 avec
f(x,y)= x^3-2y -2
il n'y a pas à se fatiguer :
pour toute valeur de x donnée, on calcule y = (x^3 -2)/2
et le couple (x,y) obtenu satisfait bien f(x,y) = 0.
Il n'y a pas de dimension 2 dans cet exemple.

Mais comment faire pour le faire pour toute valeur de x car f est definie sur IR², il y a une infinités de x possible?

Utiliser la méthode de Newton en dimension 2 n'a pas de sens.

Dejà, un polynome en plusieurs indéterminées n'a pas à proprement parler de "racines", mais plutôt des "zéros", puisqu'ils peuvent s'annuler sur un infinité (pratiquement toujorus indénombrable) de points.

Par exemple, le polynôme X - Y s'annule sur tout une droite (y=x), et le polynome X² - Y² - 1  s'annule sur toute une hyperbole.

Tu aurais donc du mal à localiser avec une méthode telle que la méthode de Newton, des zéros qui se situent aussi loin que l'on veut.
Surtout que cette méthode n'aurait même pas de sens ici.