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Nombre complexe

Posté par
Samue 27-05-09 à 00:36

Bonsoir
On considère l'application f du plan (P) vers (P) qui lie chaque point M(z) vers le point M'(z') tel que :
z' = (\frac{V3-i}{2})z + \frac{1+(V3-2)i}{2}
1)- Vérifier que f est une rotation de centre A (-i) et déterminer son angle
2)- Déterminer l'image de l'axe réel en rotation f
Voilà ce que j'ai fait :
On sait que :
z' = e^i^\theta (z-z0)+ z0
Vérification :
On a :
z' = \frac{V3-i}{2}(z+i) - i
z' = \frac{V3-i}{2}z + \frac{V3i+1-2i}{2}
z' = \frac{V3-i}{2}z + \frac{1+i(V3-2)}{2}
z' = e^(\frac{-i\pi}{6})z+\frac{1+i(V3-2)}{2}
Donc f est une rotation de centre A (-i) et d'angle (-pi/6)
Est ce que c'est juste ?
J'ai besoin de l'aide pour la dernière question
Merci d'avance

Posté par
cailloux Correcteurre : Nombre complexe 27-05-09 à 10:16

Bonjour,

1) Tu pouvais aussi vérifier que:

- A(-i) était invariant par f

- \|\frac{\sqrt{3}-i}{2}\|=1

- Arg\left(\frac{\sqrt{3}-i}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}\;\;[2\pi]

2) O(0) et I(1) sont deux points de la droite des réels.

Sachant que l' image d' une droite par une rotation est une droite, il suffit de déterminer:

O'=f(O) et I'=f(I)

La droite image est la droite (O'I')

Posté par
pythamedere : Nombre complexe 27-05-09 à 10:30

C'est juste mais maladroit (disons embrouillé) !

Puisque la formule d'une rotation d'angle \theta autour du point d'affixe z_0 est : z'=e^{i\theta}(z-z_0)+z_0, vérifier que f est une rotation autour du point d'affixe -i consiste à calculer :

\alpha=\frac{z'-z_0}{z-z_0}

à vérifier que \alpha ne dépend pas de z, d'une part et que |\alpha|=1 d'autre part.

\Large \displaystyle \alpha=\frac{z'-z_0}{z-z_0}=\frac{(\frac{\sqrt{3}-i}{2})z+\frac{1+(\sqrt{3}-2)i}{2}+i}{z+i}=\frac{(\frac{\sqrt{3}-i}{2})z+\frac{1+(\sqrt{3})i}{2}}{z+i}=\frac{\sqrt{3}-i}{2}

On constate alors que |\alpha|=1.

Pour calculer l'angle \theta on cherche \theta tel que e^{i\theta}=\frac{\sqrt{3}-i}{2} et on trouve donc \theta=-\frac{\pi}{6}

Pour déterminer l'image de l'axe réel, il suffit, puisque l'image d'une droite par une rotation est une droite, de déterminer l'image de deux points, par exemple l'image des points d'affixes respectifs 0 et 1 !

Posté par
Samuere : Nombre complexe 27-05-09 à 19:08

Merci beaucoup de vos aides


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