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Posté par
FlOo27 16-09-09 à 19:05

Bonjour j'ai un exercice où j'ai du mal à le finir à cause de certaines choses qui me posent problème.
Merci de m'aider si vous pouvez. Cordialement.

Soient les nombres complexes suivant :

Z1 = \frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{4} et Z2 = 1-i

a) Mettre sous forme algébrique Z1, Z2 et Z'=\frac{Z1}{Z2}

b) En déduire que :

cos(/12) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}  et sin(/12) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

J'ai réussi a mettre sous forme algébrique Z1 et Z2 mais par contre \frac{Z1}{Z2} ça me pose problème je remplace par les valeurs ensuite je retombe sur \frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{4-4i} ensuite arriver là je calcule avec le conjugué 4+4i mais je trouve des valeurs non simplifiables  \frac{4\sqrt{2}+4i\sqrt{6}-4i\sqrt{2}+4\sqrt{6}}{32} ensuite je met en facteur avec les 4 pour obtenir \frac{4(\sqrt{6}+4i\sqrt{6})-4(\sqrt{2}-i\sqrt{2})}{32} et j'obtiens en simplifiant \frac{\sqrt{6}+i\sqrt{6}-\sqrt{2}+i\sqrt{2}}{8}

Cordialment . Merci

Posté par
raymond Correcteurre : Nombre Complexe 17-09-09 à 00:04

Bonsoir.

Tu as d'abord :

3$\textrm z_1 = \fra{\sqrt 2}{2}[\fra{\sqrt 3}{2} + i(-\fra{1}{2})] = \fra{\sqrt 2}{2}e^{-i\fra{\pi}{6}}

Si tu ne connais pas la notation exponentielle, c'est aussi :

3$\textrm z_1 = \fra{\sqrt 2}{2}[cos(\fra{-\pi}{6}) + isin(\fra{-\pi}{6})]

3$\textrm z_2 = \sqrt 2[\fra{\sqrt 2}{2} + i(-\fra{\sqrt 2}{2})] = \sqrt 2e^{-i\fra{\pi}{4}} = \sqrt 2[cos(-\fra{\pi}{4}) + isin(\fra{-\pi}{4})]

Alors, tu en déduis que

3$\textrm\fra{z_1}{z_2} = \fra{1}{2}e^{i\fra{\pi}{12}} = \fra{1}{2}[cos(\fra{\pi}{12}) + isin(\fra{\pi}{12})]

Enfin, je trouve algébriquement :

3$\textrm\fra{z_1}{z_2} = \fra{\sqrt 6+\sqrt 2}{8} + i\fra{\sqrt 6-\sqrt 2}{8}

Il ne te reste qu'à identifier ces deux derniers résultats.

Posté par
raymond Correcteurre : Nombre Complexe 17-09-09 à 20:37

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