J'ai bien une formule, mais qui se résume par une somme que je ne sais pas simplifier...

Je sépare les éléments en deux types : d'une part ceux qui sont tels que f(k)=k, et qui donc vérifient à l'évidence f°f(k)=k (type 1) et ceux qui sont tels que f(k)=l et f(l)=k avec lk (type 2).

Pour définir une application, il faut choisir les r éléments de type 1 et les p éléments de type 2. p est nécessairement pair (p=2q).

Donc pour q=0 à n/2 (division euclidienne) on choisit d'abord les n-2q éléments de type 1 : il y a façons de le faire. Ensuite après chacun de ces choix, on doit définir comment vont s'apparier les 2q éléments de type 2. Je peux choisir q éléments parmi ces 2q éléments (il y a façons de le faire) et pour chacun de ces choix, je dois choisir pour chacun des q éléments choisis lequel des q élements restant lui sera apparié : il y a q! façons de le faire. Mais en faisant cela, je choisis deux fois chaque configuration. Donc il y a façons différentes d'apparier les 2q éléments restant.

Finalement, le nombre d'applications différentes possibles seraient :







Ce serait bien de pouvoir simplifier cette somme, mais je n'en ai pas trouvé le moyen.

Sauf erreur...