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Nombre divisible par 11
Bonjour j'ai un DM et j'ai tout fait sauf une question où j'ai comme un bug . Une explication serait la bienvenue Merci de votre part
Soit n un entier dont l'ecriture est a(n)a(n-1)...a(1)a(0 c'est a dire n= a(0)+10a(1)......10^(n-1)a(n-1)+10^na(n)
Etablir que n est divisible par 11 ssi le nombre a0-a1+a2-...+(-1)^na(n)est un multiple de 11
Je pense qu 'il faut utilser les congruences et que sa depend de la valeur de n(pair ou impair) mais je suis pas sur
ps: les chiffres entre parentheses sont les indices
Merci de votre aide
Bonjour rainbow
Effectivement, il faut utiliser les congruences.
Tout d'abord, modulo 11, 10 est congru à quoi ?
Ensuite, pour tout entier naturel k, toujours modulo 11, est congru à quoi ?
Kaiser
Bonjour
10 = -1 [11]
10^k=1 [11] si k est pair et 10^k= -1 [11] si k est impair ?
Mais j'aimerais bien savoir a quoi ça va me servir ,s'il te plait.
Merci
On ne va distinguer les cas.
Disons directement que .
Dans ce cas, modulo 11, à quoi est congru ?
Kaiser
Je crois que j'ai trouve
On sait 10^k = (-1)^k [11]
10 = -1 [11]
10a1 = -a1 [11]
10^2= 1 [11]
10^2a2 = a2 [11]
donc 10a1 + 10^2a2.....+10^na(n) = -a1 + a2....+ (-1)^na(n) [11]
donc a0+ 10a1 + 10^2a2.....+10^na(n)=a0-a1 + a2....+ (-1)^na(n)
[11]
Est ce que je suis sur la bonne voie merci
Voila mon probleme c'est que j'arrive pas a conclure :
a0+ 10a1 + 10^2a2.....+10^na(n)=a0-a1 + a2....+ (-1)^na(n)
[11]
Donc si a0-a1 + a2....+ (-1)^na(n) est bien un multiple de 11 alors il est de la forme 11k donc a0+ 10a1 + 10^2a2.....+10^na(n) est donc aussi est un multiple de 11 donc divisible par 11
c'est laquelle la meilleure façon . PArce que a l'envers je vois pas comment faire
En fait, il faut faire les deux raisonnements.
Sinon, tu peux utiliser le résultat suivant :
si a,b et n sont deux entiers vérifiant alors a est divisible par n si et seulement si b est divisble par n.
Ici, ça marche avec n=11.
Kaiser
Mais quand faut faire dans les deux sens c'est pas quand il y a " montrez que .........equivaut à....."
Si j'ai bien compris je dois dire :
Donc si a0-a1 + a2....+ (-1)^na(n) est bien un multiple de 11 alors il est de la forme 11k donc a0+ 10a1 + 10^2a2.....+10^na(n) est donc aussi est un multiple de 11 donc divisible par 11
et apres reciproquement si a0+ 10a1 + 10^2a2.....+10^na(n)est divisible par 11 alors a0-a1 + a2....+ (-1)^na(n) est forcement un multiple de 11
Merci d'avoir pris le temps de m'aider c'est tres sympa.
Bonne soirée
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