Bonjour,

Ça peut vouloir dire que le point A est toujours au même endroit (reste fixe) lorsque le point M varie... Mais il faudrait avoir l'énoncé complet pour être sûr.

je n'arrive pas à copier le sujet alors voici l'adresse c'est l'exercie 2 la question 3a

** lien vers l'énoncé effacé **

Edit Coll : si tu veux de l'aide, merci de faire l'effort de recopier ton énoncé sur le forum [lien]    

Pour démontrer que le point , milieu du segment [PL] est un point indépendant de la position du point M sur le cercle, il faut établir que l'affixe du point est constante (et donc qu'elle ne dépend pas de celle de M, bien que les points points P et L dépendent, eux, de M.

bonjour

1) tu exprime que M appartient au cercle C de centre a/2  et de rayon 1/2

a=1 donc a/2=1/2 donc |m-1/2|=1/2

2) L est l'image de M par la rotation de centre O et d'angle +Pi/2 donc:

l=im

de même M est l'image de P par la rotation de centre A et d'agle +Pi/2

donc

m-1=i(p-1) ssi ip=m-1+i
           ssi p=-im+i+1   ; en multipliant les membres de l'égalité précédente par -i

AM est la diagonale du carrée APNM donc

n-a=(p-a)+(m-a)
   =p+m-2a
donc
n=p+m-a
=(-im+i+1)+m-1
=(1-i)m+i

de la même manière OK est la diagonale du carré OMKL donc:

k=m+l==m+im=(1+i)m

3)a) je note G=Oméga et g son affixe:

g=(p+l)/2
=(-im+1+i+im)/2=(1+i)/2  

G est donc indépendant de M

b) g-1/2=i/2 dinc |g-1/2|=|i/2|=1/2 donc G apprtient au cercle C

arg(g)=Pi/4 donc G est l'intersection de C et la première bissectrice du plan complexe.

4) a)

||KN||=|k-n|

k-n=(1+i)m-(1-i)m-i
   =(1+i-1+i)m-i
   =2im-i
   2i(m-1/2)

donc |k-n|=|2i(m-1/2)|
          =|2i|.|m-1/2|
          = 2.(1/2) ; car |m-1/2|=1/2
          =1

donc ||KN||=1 est constante et indémendante de M

n-g=(1-i)m+i-(1+i)/2
   =(1-i)(m-1/2)

de même

k-g=(1+i)m-(1+i)/2
   =(1+i)(m-1/2)

donc

(n-g)/(k-g) = (1-i)/(1+i)
            =(1-i)²/2
            =-2i/2
            =-i

donc GN est perpendiculaire à GK

donc le triangle GKN est rectangle en G

5) G est fixe sur C et ||KN||=1 et GN.GK=0
concodères les deux positions extrèmes de M:
1) lorsque M=A=N alors K est tel que k-a=i
2) lorsque M=O=K alors N est tel que n=i

donc N appatrient au cerncle de centre G et de rayon Rc(2)/2

par le calcul

on a vu que

n-g=(1-i)m+i-(1+i)/2
   =(1-i)(m-1/2)

donc |n-g|=|(1-i)(m-1/2)|
          =|1-i|.|m-1/2|
          =rc(2)/2  ; car |m-1/2|=1/2

donc |n-g|=rc(2)/2 est indépendant de M

donc N appartient au cercle de centre G et de rayon rc(2)/2
-------
voila