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nombres complexes.

Posté par
MCTE
02-11-09 à 15:09

Bonjour. J'aurais besoin d'une correction. C'est un exercice de l'annale de mathématiques S 2010 mais je ne trouve pas la correction sur internet. Merci de votre aide.

Asie, juin 2004

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct (0;u;v).
On fera une figure qui sera complétée au fur et a mesure.
Soit f l'application qui à tout point M de P d'affixe non nulle z associe le point M' d'affixe: z'= 1/2 *(z+(1/z)).

1) Soit E le point d'affixe ze=-i. Déterminer l'affixe du point E", image de E par f.

2) Déterminer l'ensemble des points M tels que M'=M.

3) On note A et B les points d'affixes respectives 1 et -1.
Soit M un point distinct des points O, A et B.
a)Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de 0,1 et -1 :
(z'+1)/(z'-1)=((z+1)/(z-1))².
b)En déduire une expression de (M'B)/(M'A) en fonction de (MA)/(MB). puis une expression de l'angle (M'A;M'B) (vecteurs) en fonction de l'angle (MA;MB) (vecteurs).

4) Soit delta la médiatrice du segment [AB]. Montrer que si M est un point de delta distinct du point O, alors M' est un point de delta.

5) Soit T le cercle de diamètre [AB].
a) Montrer que si le point M appartient à T alors le point M' appartient à la droite (AB).
b) Tout point de la droite (AB) a-t-il un antécédent par f?

Posté par
cailloux Correcteur
re : nombres complexes. 03-11-09 à 12:17

Bonjour,

1)z_{E'}=\frac{1}{2}\left(-i-\frac{1}{i}\right)=0 donc E' est en O.

2)Avec z\not=0, z'=z\Longleftrightarrow \frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)=z\Longleftrightarrow z^2=1\Longleftrightarrow z=\pm 1

3)a) Avec z\not=0, z\not=-1 et z\not=1

\frac{z'+1}{z'-1}=\frac{\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)+1}{\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)-1}=\frac{z^2+1+2z}{z^2+1-2z}=\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^2

3)b) On passe aux modules dans la relation précédente:

\frac{|z'+1|}{|z'-1|}=\frac{|z+1|^2}{|z-1|^2}

Soit: \frac{M'B}{M'A}=\frac{MB^2}{MA^2} (1)

puis aux arguments:

Arg\left(\frac{z'+1}{z'-1}\right)=2Arg\left(\frac{z+1}{z-1}\right)\;\;[2\pi]

Soit: (\vec{M'A},\vec{M'B})=2(\vec{MA},\vec{MA})\;\;[2\pi] (2)

4) M\in\Delta \Longleftrightarrow MA=MB

alors, d' après (1), M'A=M'B donc M'\in\Delta

5)a) Si M\in(T) avec M\not=A et M\not=B, alors (\vec{MA},\vec{MB})=\frac{\pi}{2}\;\;[\pi]

et, d' après (2), (\vec{M'A},\vec{M'B})=\pi\;\;[2\pi]

donc M'\in(AB)

Les points A et B étant invariants par f, si M\in(T), alors M'\in(AB)

5)b) Si M'\in(AB), z'=k avec k\in\mathbb{R}

On cherche z tel que 2k=z+\frac{1}{z}

Soit z^2-2kz+1=0

\delta=4(k^2-1)

Si k>1 ou k<-1, c' est à dire M' \in(AB) privé de [AB], alors

z=k\pm\sqrt{k^2-1} et M\in (AB)

Si -1<k<1, c' est à dire M'\in[AB], alors:

z=k\pm i\sqrt{1-k^2} et M \in(T)



Posté par
MCTE
nombres complexes 03-11-09 à 15:44

Je vous remercie beaucoup.
Je regarde votre correction et vous demanderez une explication si je n'ai pas compris.
Merci.
:)

Posté par
cailloux Correcteur
re : nombres complexes. 03-11-09 à 15:48

De rien MCTE

Posté par
MCTE
nombres complexes. 03-11-09 à 17:22

Donc pour la 2ième question, l'ensemble des points M c'est le segment [AB]?

Pourriez vous m'expliquez la question 5)b) s'il vous plait car je ne comprends pas du tout.
Merci d'avance.

Posté par
cailloux Correcteur
re : nombres complexes. 03-11-09 à 21:01

Citation :
Donc pour la 2ième question, l'ensemble des points M c'est le segment [AB]?


Ah non: on obtient z=\pm 1: il s' agit des deux points A et B d' affixes respectives 1 et -1

5)b) On cherche le ou les antécédents d' un point de la droite (AB) autrement dit de l' axe des réels caractérisé par z'=k avec k\in\mathbb{R}

On est donc amené à résoudre l' équation:

k=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right) avec k\in\mathbb{R}

Ou encore l' équation du second degré:

z^2-2kz+1=0 dont le discriminant est:

\delta=4(k^2-1)

Si k<-1 ou k>1 ce qui signifie que M'\in(AB) privé du segment [AB] , \delta>0

On a 2 racines réelles:

\{z_1=k+\sqrt{k^2-1}\\z_2=k-\sqrt{k^2-1}

Donc M'(k) à deux antécédents M_1(z_1) et M_2(z_2) de la droite (AB)

Si k=1 ou k=-1 ce qui signifie que M'=A ou M'=B , l' équation devient:

(z-1)^2=0 ou (z+1)^2=0

On retombe sur les points invariants de la question 2.

Si -1<k<1 ce qui signifie que M'\in[AB] privé de ses extrémités, \delta<0

On a 2 racines complexes:

\{z_1=k+i\sqrt{1-k^2}\\z_2=k-i\sqrt{1-k^2}

Prenons la première solution:

M_1\|x=k\\y=\sqrt{1-k^2} avec -1<k<1

Les coordonnées de M_1 vérifient:

x^2+y^2=k^2+1-k^2

x^2+y^2=1

Donc M_1(z_1) appartient au cercle de diamètre [AB]

Même chose pour M_2(z_2)

Donc deux antécédents sur le cercle de diamètre [AB].

Posté par
MCTE
nombres complexes. 05-11-09 à 20:57

Merci de votre aide.

Posté par
Gwen03
re : nombres complexes. 17-01-13 à 18:29

Bonjour j'aimerais savoir comment vous avez fait pour la premiere question ?

Posté par
cailloux Correcteur
re : nombres complexes. 17-01-13 à 19:17

Bonjour,

Citation :
1)z_{E'}=\frac{1}{2}\left(-i-\frac{1}{i}\right)=0 donc E' est en O.


J' ai remplacé z par z_E=-i dans z'=\dfrac{1}{2}\,\left(z+\dfrac{1}{z}\right)

Posté par
Gwen03
re : nombres complexes. 17-01-13 à 20:34

Merci beaucoup ! Moi et les maths ca fait un peu deux ^^

Posté par
Gwen03
re : nombres complexes. 17-01-13 à 20:50

Pourrais tu m'aider sur un autre topic s"il te plait ?

Posté par
cailloux Correcteur
re : nombres complexes. 17-01-13 à 23:31

S' il s' agit de ce topic: , il me semble que Glapion s' occuppe très bien de toi...

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