Bonjour,
Voici mon DM, quelqu'un peut voir si c'est juste ce que j'ai fait et m'aider sur les questions où je bloque?
_{*Sylvieg>Énoncé reconstitué dans une des réponses *}

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O;u,v), (unités 2cm).
1) Placer A et B les points d'affixes -i et 3i
Voir figure jointe
Et soit f la transformation qui, à tout point M du plan, d'affixe z, M différent de A, associe le point M' d'affixe z' telle que z'=(iz+3)/(z+i)

2)a) Résoudre l'équation f(z) = z
f(z) = z <--> (iz+3)/(z+i) = z <--> iz+3 = z(z+i) <--> iz+=z²+iz <-->z²-3=0 <--> z1= racine carrée de 3 ou -racine carrée de 3.

b) Donner les formes trigonométrique et  exponentielle des éventuelles solutions de l'équation f(z)=z ci-dessus.
Iz1I = racine carrée de 3
arg(z1) = (u;OM1)=0
Donc z1= racine carrée de 3(cos 0 + i sin 0) <--> z1 = racine carrée de 3 * e^(i*0)
Iz2I = racine carrée de 3
arg(z2) = (u;OM2) = pi
Donc z2= racine carrée de 3 (cos pi + i sin pi) <--> z2 = racine carrée de 3 * e^(i*pi)

c) En déduire que f admet deux points invariants appartenant au cercle (C) de diamètre [AB] et placer ces 2 points sur un graphique.
Soit E le centre du cercle (C) de diamètre [AB]. On a :
AE= EB =1/2 AB = 1/2 IzB - zAI = 1/2 I3i-(-i)I = 1/2 I4iI = 4/2 = 2
Soit E(xE;yE)
AE = [(xE-0)² + (yE+1)²]^(1/2) = 2 <--> xE² +( yE+1)² = 4
Sachant que A et B appartiennent à l'axe des ordonnées et que E est le milieu de [AB] alors E appartient aussi à l'axe des ordonnées d'où xE=0.
Donc: (yE+1)²=4 <--> yE+1 = 2 ou -2
* Si yE+1 = 2 alors yE = 1 d'où E(0;1)
* Si yE + 1 = -2 alors yE = -3 d'où E(0;-3) et dans ce cas, E n'appartient pas à [AB], donc ce cas est refusé.
On a alors, zE = i.
Soit M1 et M2 deux points d'affixes respectives z1 et z2.
M1(racine de 3;0) et M2(-racine de 3;0)
EM1= Iz1 - zEI = Iracine de 3 - iI = 2
Donc [EM1] est un rayon du cercle (C). On en déduit que M1 appartient à (C).
De même EM2 = 2 donc M2 appartient à (C).
Et comme f(z)=z pour tout point M d'affixe z alors: f(z1) = z1 et f(z2)=z2. Donc M1 et M2 sont deux points invariants de (C).
Je ne suis pas sûre de ma réponse et je me demande s'il n'y a pas une autre méthode plus courte.

d) On note C le point d'affixe c=-2+i, montrer que C', image de C par f, est sur l'axe des abscisses.
C(-2;1)
c'= (ic+3)/(c+i) = (i(-2+i)+3)/(-2+i+i) = -1 (après plusieurs étapes de calculs). Donc C'(-1;0). On en déduit que C' est sur l'axe des abscisses.

3) Pour tout z différent de -i, on considère le nombre complexe w=(z-3i)/(z+1)
a) Montrer que pour tout z différent de -i, on a z'=i*w
j'ai calculé i*w en remplaçant w et j'ai trouvé z'

b) En déduire que pour tout point M différent de A et B, arg(z')=(MA,MB) + pi/2 à 2 pi près (MA et MB en vecteurs comme u, v )
arg(z')=arg(i*w) = arg(i) + arg(w) + 2k pi (k?Z) = arg(zE)+arg(w)+2k pi = (u;OE)+arg(w)+2k pi = (pi/2)+arg(w)+2k pi
Or, arg(w)=arg[(z-3i)/(z+i)] = arg(z-3i)-arg(z+i)+2k' pi (k'?Z)
arg(w) = arg(z-zB)-arg(z-zA)+2k' pi = (u;BM)+(u;MA)+2k' pi = (MA;MB)+2k' pi
Donc arg(z')=(pi/2)+(MA;MB)+2k' pi = (MA;MB)+(pi/2)+2K pi (K=k+k' ?Z)  
(Là aussi u; OE; MA; MB; BM sont des vecteurs et je ne suis pas du tout sûre de mes calculs)

c) En déduire l'ensemble des points M d'affixe z tels que z' soit imaginaire pur.
z' est imaginaire pur <--> arg z' = pi/ ou - pi/2
DOnc (MA; MB)+pi/2+2K pi = pi/2 ou -pi/2 <--> (MA;MB)+2K pi = 0 ou -pi
* Si (MA;MB)+2K pi = 0 alors M se trouve sur l'axe des ordonnées avec M n'appartient pas à [AB]
* Si (MA;MB)+2K pi = -pi alors M se trouve sur l'axe des ordonnées avec M?[AB]
On en conclut que l'ensemble des points M d'affixe z tels que z' soit imaginaire pur est l'axe des ordonnées avec A et B exclus
(Là encore je ne suis pas sûre)

d) Soit M un point du cercle de diamètre [AB] privé des points A et B, à quel ensemble appartient le point M'?
Je bloque à cette question, j'ai juste fait: M?C <--> z=2

4)a) Montrer que pour z différent de -i, on a Iz+iI*Iz'-iI=4 (exprimer z'-i en fonction de z)
Pas de problème pour cette question, j'ai bien trouvé 4

b) En déduire que si M(z) appartient au cercle de centre A et de rayon 2 alors M'(z') appartient à un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.
(Je bloque aussi pour cette question, je ne sais pas comment raisonner)

Merci pour votre aide