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nombres complexes et ensemble de points
Bonjour. Je n'arrive pas à bout de la question qui suit. Pouvez vous m'aider ? Merci d'avance.
Dans le plan complexe, déterminer l'ensemble des points M d'affixe z pour lesquels le point M' d'affixe Z = i(1+z)/(1-z) appartient à l'axe des réels.
Pour cela il faut que la partie imaginaire de Z soit nulle ... Je ne m'en sors pas.
en faisant Z* je me retrouve avec
(i+ix-y)/(1-x-iy) = (i+ix-y)(1-x-iy)
(i+ix-y)(1+x+iy)-(i+ix-y)(1-x-iy) = 0
(i+ix-y+ix+ix²-xy-y-xy-iy²)-(i-ix+y-ix-ix²+xy-y+xy-iy²)=0
2ix-2y+2ix²-4xy = 0
i(2x+2x²)+2y-4xy = 0
Je suis bloquée ...
Z = i(1+z)/(1-z) = i( 1 + 2/(1-z) ) avec z diff de 1
Z* = -i( 1 + 2/(1-z*) )
Z = Z*
1 + 2/(1-z) = -1 -2/(1-z*)
1 + 1/(1-z) + 1/(1-z*) = 0
(1-z)(1-z*)+(1-z*)+(1-z) = 0
3 - 2(z+z*) + zz* = 0
3 - 4x + x² + y² = 0
(x-2)² + y² = 1
cercle de centre Q(2;0) et rayon 1 moins le point A(1;0) car z diff de 1
A vérifier
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