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Nombres complexes et géométrie
Bonjour,
J'ai un souci pour répondre à l'une de mes parties de mon DM (à rendre pour lundi!)
Voici le sujet: (intitulé de la partie : Condition nécessaire et suffisante pour q'un triangle soit équilatéral)
On désigne par j le complexe de module 1 et d'argument 2
/3. On notera un point dun plan et son affixe par la mêm lettre(majuscule pour le point, minuscule pour l'affixe).
1. Soit r la rotation de centre C et d'angle /3, montrer que : r(z)=-j²z-jc
2. En déduire que, pour qu'un triangle de sommet A,B,C soit équilatéral, il faut et il suffit que:
a+bj+cj²=0 ou a+bj²+cj=0
3. Démontrer z pour que le triangle de sommets I(i),Z(z) et Z'(iz) soit équilatéral.
Merci d'avance
Il faut décomposé la rotaion en une symétrique/C et une rotaion de 4pi/3.
1. symétrie
CM1 = -CM (en vecteur)
z1-c=-z+c
z1=2c-z
2. rotation
affixe (CM')=j2* affixe (CM1)
z'-c= j2(z1-c)=j2(2c-z-c)=j2(c-z).
z' = -j2(z)+(1+j2)c.
comme 1+j+j2=0 (racines de l'unité)
On en déduit le résultat..
2.
Un triangle est équilatéral ssi A=r(B) ou B=r(A). ou en affixes a=r(b) ou b=r(a).
D'après le 1, on déduit a=-j2b-jc ou b=-j2a-jc .
On multiplie la deuxième de ces deux égalités par j et on obtient le résultat.
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