deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est 1

prouve que le PGCD de 2 nombres a et b divise aussi a-b (avec a>b)

je ne comprend pas la méthode tu peux me donner un exemple stp

Le PGCD de a et b divise a et b  donc a=ka' et b=kb'
donc a-b=......=k(....) donc k divise aussi a-b

avec a=n et b=n+1......

Les nombres premiers sont ceux qui n'ont ne sont divisibles que par 1 et le nombre lui même.
Deux nombres premiers entre eux veux dire que le seul diviseur commun qu'ils ont est le 1.
Pour la démonstration je ne comprend pas, le prof nous a montré que n et n+1 sont premiers entre eux comme étant axiome ...

n=kn' et (n+1)=k(n'+1)

donc n-(n'+1) = kn'-k(n'+1) = k(n'-n'-1) = -k

on peut aussi le faire directement ( mais c'est en fait l'algorithme d'Euclide)
si k divise n et n+1 alors n=kn' et n+1=kN
donc (n+1)-n=.....=k(...) et donc.....

n=kn' et (n+1)=kN (ou encore n'')
à suivre...

ma reponse est fausse je crois

(n+1)-n=kn'-kN=k(n'-N) et donc k divise n et (n+1)

Bonsoir

Si st1fl3r a "vu Bézout", c'est immédiat :

(-1)(n)+(1)(n+1) = 1

sinon, oublions mon post

hypothèse : k divise n et (n+1)
donc : (n+1)-n=kn'-kN=k(n'-N)
et donc 1=k(n'-N)
et donc k divise 1
quels sont les seuls diviseurs de 1?

1  donc j'ai démontrer que n et (n+1) sont premiers entre eux

et voilà!

existe t il des valeurs de l'entier naturel n pour lesquelles la fraction n/(2n+1) n'est pas irrecductible ?

salut,

Moi qui cherchais une question bonus pour mon controle sur le PGCD en 3e

Avec Euclide :

n+1 = n*1 + 1
1= 1*1 + 0  donc le PGCD est 1.

existe t il des valeurs de l'entier naturel n pour lesquelles la fraction n/(2n+1) n'est pas irrecductible ?

Dans quel cas une fraction est-elle irreductible ?

à mince oui lorsque n et 2n+1 sont premiers entre eux...

j'obtiens par la meme méthode qu'avant :

1-n= k(n'-N)

Il y a plus simple.

Soit d un diviseur commun a n et 2n+1.

d divise n donc d divise aussi 2n

d divise 2n et di divise 2n+1 donc d divise (2n+1)-2n ie d divise 1

et donc d=1, par consequent n et 2n+1 sont premiers entre eux