bonjour

pour la première, l'idée est là mais tu la prends "à l'envers" ! tu pars du résultat

il faut la rédiger plus proprement !

soit un epsilon positif... et ensuite il faut se servir des hypothèse pour arriver au résultat..

tu essayes ?

Je vais essayer :
Soit > 0
Selon l'énoncé, on sait que v_n converge vers v et u_n converge vers u.
Donc |u_n - u| < et |v_n - v| < .
La somme de ces suites nous donne ceci :
|u_n + v_n - (u + v)| 2
Soit :
, N, nN, |u_n + v_n - (u + v)|2

je ne comprends pas ton premier "donc"

tous les |un-u| ne sont pas inférieurs à epsilon !

écris tout proprement s'il te plait

Je vais essayer :
Soit > 0
Selon l'énoncé, on sait que v_n converge vers v et u_n converge vers u.
|u_n - u| et |v_n - v| .
La somme de ces suites nous donne ceci :
|u_n + v_n - (u + v)| 2
Soit :
, N, nN, |u_n + v_n - (u + v)|2


Voilà.
Personnellement ce genre d'écriture est des plus pénible, et porte à confusions.

tu as quasi réécrit la même chose !!!!

je ne comprends pas ton |un - u| < epsilon... c'est valable pour tout n ?????????

Oui, c'est exact

ben non !

ce n'est pas la définition de l'hypothèse "u(n) a pour limite u" ... je suis désolé

à moins que u(n) ne soit toujours égale à u

Bon, mieux vaut expliquer ma démonstration.
D'après l'énoncé, on sait que Un et Vn convergent vers u et v respectivement.
Ce qui veut dire que pour toute approximation epsilon strictement positive, |Un - U|epsilon et |Vn - V|epsilon.
Puis, on nous demande de faire la somme Un + Vn.
Ce que j'ai marqué, c'est que la différence entre Un+Vn et (U + V) est inférieure à deux fois epsilon.

Oui, eh bien comment traduire cela en langage (barbare) mathématique ?
Franchement, ce système de notation est des plus ridicules !!!!!!!!

Bon sang, je n'en sais rien, je mets cette démonstration et advienne ce qui en suivra !!

On dit clairement que Un et Vn convergent vers U et V respectivement.

Il faudrait donc définir n tel que nN

Je suis en première année de licence de Physique.

, N, nN, |Un - U|<

bien

donc soit epsilon positif

u(n) tend vers u donc ... (applique la définition)

Soit epsilon positif.
Un tend vers U donc
>0, N, nN, |Un-U|

Bon là franchement, je suis perdu....

c'est quoi ce "quel que soit epsilon...."
on applique la définition !
si cela marche pour tout epsilon, là on l'applique avec celui qu'on s'est donné... c'est à dire celui qui doit donner à la fin |u(n)+v(n)-(u+v)| < epsilon

donc SOIT > 0 donné

Comme u(n) converge vers u, j'applique la définition à /2 :
IL EXISTE un entier N tel que nN, on a |u(n)-u|/2

(je prends epsilon sur deux car tu as remarqué tout à l'heure qu'on aboutissait à 2*epsilon... or je veux aboutir à )

fais la même chose avec v :

Je n'ai pas compris ce que "pour epsilon > 0 donné" veut dire ? J'ai besoin de plus d'explications ...


Comme Vn converge vers v, j'applique la définition à epsilon/2 :
Il existe un entier N tel que pour tout nN, on a |Vn - v|/2

Ensuite, je dis que :
Il existe un réel N tel que pour tout nN, |Un + Vn - (u + v)|<epsilon

Est ce que la démonstration s'arrête là ?

Et qu'en est-il de uv ?

Pitiéé !!!
N'y a-t-il pas d'autres pièges ??
J'en ai totalement marre de ces formulations ! Je débute en analyse, et franchement je ne vois pas comment faire pour considérer tous les cas de figures.
Cet entier N', quel est sa valeur ?? D'où vient-il ????

Je crois que tu n'as pas compris comment montrer le résultat

on veut montrer que (avec les hypothèses données) :
>0 , M, nM, |(u(n)-v(n) - (u+v|

Donc on se donne un > 0 quelconque

et il faut trouver le M qui fonctionne

on commence par traduire les hypothèses

on se calme !

là maintenant on fait des maths rigoureuse, pas de la magouille, je vais te guider (tu as vu l'idée mais tu ne sais pas le formuler proprement)

tu es d'accord avec ce qu'on veut montrer ?

LOL je n'ai rien dis, par contre il faudrait considérer un réel N" pour la somme des suites, puis leur produit.
Merci beaucoup pour votre patience !
J'avoue que l'analyse est quelque chose de très difficile à comprendre (de mon point de vue).

c'est normal, j'ai connu ça ! c'est toujours difficile quand on commence ce genre de choses

donc tu es d'accord avec mon post de 18:37 ?

Oui j'ai compris. Mais comment cela se fait-il que l'on doive des fois préciser que N appartient aux entiers naturels, alors que dans certains autres cas cette précision n'est pas explicitée ?

parce que là on travaille sur des suites et que les indices sont des entiers !

donc les hypothèses te donnent :

N ; nN ; |u(n)-u|/2

et

N' ; nN' ; |v(n)-v|/2

tu es d'accord ?

Oui, cela me paraît logique
Mais ensuite, comment aborder la démarche de la somme des suites et de leur produit ?

tu me laisses finir s'il te plait ?

je pose M=max(N;N')

pour tout n M (donc a fortiori plus grand que N et N') on fait ce que tu avais dit :

|u(n) + v(n) - (u+v)| |u(n) - u| + |v(n) - v| /2 + /2

donc on a prouvé que ... ce que j'énonçais à 18:37

donc u(n)+v(n) tend bien vers u+v

ok ?

Bon... he bien à plus tard alors !

Oui, je comprends désormais !
Merci beaucoup ! (j'étais allé manger)
En ce qui concerne, uv , dois je appliquer la même méthode (pour M) ?

Je ne vois pas comment faire pour le produit des suites.
Faut il partir du des hypothèses explicités précédemment, puis dire que |Un-U| * |Vn-V| = |UnVn - uv| ??

Êtes vous encore présent ?

j'étais aussi parti manger ! (les nourritures intellectuelles, c'est bien mais ce n'est pas suffisant !)

pour le produit c'est plus délicat... ton égalité est totalement fausse ! quand tu développe le produit ru a 4 termes !

indication : quand une suite converge elle est bornée...
preuve pour u(n) :
=1 ... N, nN, |u(n)-u|1
et |u(n)|-|u|||u(n)|-|u|||u(n)-u|1
donc |u(n)|1+|u|
Soit K=max{u(0);u(1);u(2);...;u(N-1);|u|+1}
Pour tout entier n on a donc |u(n)|K

et |u(n)v(n)-uv|=|u(n)v(n)-u(n)v+u(n)v-uv||u(n)|*|v(n)-v|+|v|*|u(n)-u| K*|v(n)-v|+|v|*|u(n)-u|

Soit >0 donné

N1, nN1, |u(n)-u|/(2*|v|) (au cas où |v| serait nul, on prend /2)

N2, nN2, |v(n)-v|/(2*K) (au cas où K serait nul, on prend /2)

soit M=max(N1;N2) et nM
|u(n)v(n)-uv| K*|v(n)-v|+|v|*|u(n)-u|/2+/2

on a prouvé que u(n)*v(n) tend vers uv

mm

il y a des qui manquent entre net N1; et entre n et N2

pardon

Merci beaucoup pour votre patience et vos explications

pas de quoi

essaye de le refaire tout seul d'ici un jour ou deux pour voir si tu as bien compris

cordialement

MM