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Optimisation

Posté par
Mz3lle-Bulle
15-07-11 à 09:36

Bonjour à tous,
Je rencontre quelques soucis quant à la résolution d'un exercice d'optimisation, si vous pouviez m'apporter un peu d'aide, ce serait sympa

Voici l'énoncé:

Déterminez le volume du cône circulaire droit de plus grand volume dont la somme du rayon de la base et de l'apothème vaut k (l'apothème est le segment désigné par la lettre a).


Ainsi que le début de ma résolution:

Volume du cône = (1/3) B * h = (1/3) r² h
La contrainte est : r + a = k

Vu que l'on a un triangle rectangle, de côtés r, h et a, on peut dire que a²=r²+h². On trouve que h=
On injecte ceci dans le volume du cône et on obtient : (1/3) ().

Ensuite j'ai commencé à calculer la dérivée, et là c'est le désastre, je n'aboutis pas à la réponse demandée, soit V'(r) = (kr(2k-5r)) / (3 )

Je pars de V(r) en décomposant en deux partie car c'est une composée uv dont la dérivée donne u'v+uv'
avec u = (1/3)
d'où u' = (2/3)r

et v =
d'où v' = (2k-2r) / 2

Et là je ne parviens jamais à tomber sur le résultat escompté, même si je m'en rapproche..

Merci d'avance pour votre aide :/

Posté par
Mz3lle-Bulle
re : Optimisation 15-07-11 à 09:38

Bonjour à tous,
Je rencontre quelques soucis quant à la résolution d'un exercice d'optimisation, si vous pouviez m'apporter un peu d'aide, ce serait sympa

Voici l'énoncé:

Déterminez le volume du cône circulaire droit de plus grand volume dont la somme du rayon de la base et de l'apothème vaut k (l'apothème est le segment désigné par la lettre a).


Ainsi que le début de ma résolution:

Volume du cône = (1/3) B * h = (1/3) r² h
La contrainte est : r + a = k

Vu que l'on a un triangle rectangle, de côtés r, h et a, on peut dire que a²=r²+h². On trouve que h= k²-2kr
On injecte ceci dans le volume du cône et on obtient : (1/3) ( k²-2kr).

Ensuite j'ai commencé à calculer la dérivée, et là c'est le désastre, je n'aboutis pas à la réponse demandée, soit V'(r) = (kr(2k-5r)) / (3 k²-2kr)

Je pars de V(r) en décomposant en deux partie car c'est une composée uv dont la dérivée donne u'v+uv'
avec u = (1/3)
d'où u' = (2/3)r

et v = k²-2kr
d'où v' = (2k-2r) / 2 k²-2kr

Et là je ne parviens jamais à tomber sur le résultat escompté, même si je m'en rapproche..

Merci d'avance pour votre aide :/

(désolée mais j'ai eu un souci de racine, je n'arrive pas à les faire ^^)

Posté par
mdr_non
re : Optimisation 15-07-11 à 09:49

bonjour

quand tu injectes , ou est passé r² ?

Posté par
mdr_non
re : Optimisation 15-07-11 à 09:51

\Large V(r) = \frac{1}{3} \pi.r^2.\sqrt{k^2 - 2kr}

Posté par
mdr_non
re : Optimisation 15-07-11 à 09:57

si t'es d'accord, on obtiendrai alors

\Large V^{'}(r) = \frac{1}{3} \pi(2r.\sqrt{k^2 - 2kr} - \frac{k}{\sqrt{k^2 - 2kr}})

après simplification simple, en réduisant même dénominateur



ton erreur :

Citation :
et v = k²-2kr
d'où v' = (2k-2r) / 2 k²-2kr


v' n'est pas bon

rappel

\Large \sqrt{u}^{'} = \frac{u^{'}}{2\sqrt{u}}

ici la variable c'est  SEULEMENT   r   et non pas  k !

k est une constante,  par conséquent   (k² - 2kr)' = -2k

Posté par
mdr_non
re : Optimisation 15-07-11 à 09:59

euh

\Large V^{'}(r) = \frac{1}{3} \pi(2r.\sqrt{k^2 - 2kr} - {\red{r^2}}\frac{k}{\sqrt{k^2 - 2kr}})

Posté par
Mz3lle-Bulle
re : Optimisation 15-07-11 à 10:02

Oui bien sur, pardon, j'ai oublié d'écrire le r².

D'accord, merci, je vais refaire la dérivée!

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