4. Solutions de l'équation (E): f(x) =1
Prouver que (E) admet exactement deux solutions sur [-2;2]
Donner un encadrement de ces réels à 10-3 près :

je pensai utiliser le théorème de la bijection mais comme f(x)=1 est constante, peut-on l'utiliser ?

Je ne comprends pas ta question.
Quel est l'énoncé du théorème de la bijection ?

Corollaire du  Th. des valeurs intermédiaires :

Si la fonction f est continue et strictement monotone sur ( a ; b)
Alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k a une solution unique dans ( a ; b ).
On dit que f réalise une bijection de l'intervalle ( a ; b ) sur l'intervalle image ( f(a) ; f(b) ) ou ( f(b) ; f(a) ) selon que f est croissante ou décroissante.

Dans notre cas, qui est k ? a ? b ?

k : 1
a : -2
b : 2

Je ne pense pas, puisque f n'est pas monotone sur [-2;2]

Je pense plutôt à 1 solution à f(x)=k sur chacun des deux intervalles [a;b] et [b;c] tels que :
k=1
a=0
b=2
c=2

Dans ce cas, on réduit l'intervalle d'étude à [0;2], dont les images sont positives contrairement à l'intervalle [-2;0] (car la fonction est impaire). Mais la justification par le tableau est-elle suffisante ?

Sur [-2;0], la fonction est négative, donc 0 solution à l'équation f(x) = 1.

Sur [0;2], OK avec ta démarche.

Par le tableau du 2.c., on sait que f est strictement croissante & continue sur [0;2] et strictement décroissante & continue sur [2;2].

Or 0<1<2, donc f(0)<1<f(2) ou f(2)<1<f(2)

D'après le corollaire, il existe donc bien une solution unique sur [0;2] et une solution unique sur [2;2], soit deux solutions sur l'intervalle [-2;2].

OK

Je ne vois pas comment on pet justifier qu'il y deux solutions en citant : "Or 0<1<2, donc f(0)<1<f(2) ou f(2)<1<f(2)"

Sur [-2;0], la fonction est négative, donc il n'y a pas de solution à l'équation f(x) = 1 sur cet intervalle.

Applique le théorème de la bijection sur l'intervalle [0;V2] : tu trouveras une unique solution à l'équation f(x) = 1 sur cet intervalle.

Applique le théorème de la bijection sur l'intervalle [V2;2] : tu trouveras une unique solution à l'équation f(x) = 1 sur cet intervalle.

Donc sur [0,2 ]
1,931 < x < 1,932

Et sur [2, 2]
0,517 < x < 0,518
???

Les nombres n'appartiennent pas aux intervalles.

Sinon, la calculatrice doit te permettre de vérifier.

Petite question que je me posais : la question nous demande bien de prouver qu'il existe 2 solutions, pas de trouver la valeur exacte ?

En effet.

4. Solutions de l'équation (E): f(x) =1
Prouver que (E) admet exactement deux solutions sur [-2;2]
Donner un encadrement de ces réels à 10-3 près.

Oui, mais je pensais qu'il fallait donner la réponse en trouvant la valeur exacte de 2 solutions et en conclure qu'il existait deux solutions, pour ensuite donner leur valeur approchées.
Simple petit doute passager, excusez-moi..

j'ai fais les calculs et j'ai trouvé :

pour ( 0 ;2 )

0,517 0,518

donc 0,517 à 10^-3 près


pour ( 2 ; 2 )

1,932 1,931

donc 1,931 à 10^-3 près

les résultas sont-ils exacts ?

je met la 2ème partie de l'exercice :

Soit   un cercle de rayon r=1 et ABCD

Petite erreur de touche donc je recommence.

Soit   un cercle de rayon r=1 et ABCD un rectangle inscrit dans .

On pose AB=x et on associe, à ce réel x, l'aire A(x) du rectangle ABCD.


1) Préciser quel intervalle J peut décrire le réel x et calculer A(x).

2) Déterminer, à l'aide des résultats de la partie A ;

  a. pour quelle valeur de x l'aire du rectangle ABCD est maximale ; préciser dans ce cas, la valeur de l'aire et la nature de ABCD.

  b. pour quelle(s) valeur(s) de x, l'aire du rectangle ABCD est égal à 1.

Que proposes-tu ?

1. Je ne sais pas comment raisonner pour trouver l'intervalle J.

Tu as fait la figure ? Quelle est la plus petite valeur possible pour AB ? la plus grande ?

Tu connais Geogebra ? Il permet de faire des figures telles que celle ci-dessous, où on peut déplacer le point A à la souris (impossible sur l'Île), et le point correspondant de la courbe x |--> A(x) se déplace en même temps.

B.1.

x = AB est compris entre 0 et le diamètre du cercle, c'est-à-dire 2.

[AC] est un diamètre de Gamma.
L'application du théorème de Pythagore dans le triangle ABD rectangle en D donne :
AD = V(4-x²)

L'aire du rectangle ABCD est :
A(x) = AB*AD = xV(4-x²)

j'ai essayé de me servir de  Geogebra mais j'ai un peu de mal. Je n'arrive pas à construire un rectangle sur le cercle

Que cela ne t'empêche pas de répondes aux questions de l'énoncé...

Pour la question 2.b, faut-il utiliser le tableau de variation ?

Il faut surtout utiliser la partie I.

je pense que pour x=2 l'aire du rectangle ABCD serait maximale. mais après comment l'expliquer ?

Quel est le lien entre les parties I et II ?

on remarque f(x)=A(x)

Cela permet de répondre à quasiment toutes les questions de la partie II, non ?

si a(x)=f(x), donc d'après le tableau de variation, la valeur de x du rectangle ABCD est maximale en 2. C'est çà ?

Non.
Fais la figure. Pour x=2, le rectangle est "plat", et l'aire est nulle.

x est comprit entre 0 et 2. donc la valeur maximale doit aussi être comprise entre 0 et 2 ou pas ?

On ne te demande pas quelle est la valeur maximale de x (c'est bien 2), mais la valeur maximale de A(x). Relis ton énoncé.

la valeur maximale de A(x) est donc 2 ?  et l'aire vaut alors 0

A(x) est l'aire.
Comment peux-tu dire qu'elle est à la fois égale à 2 et 0 ?!
As-tu relu ton message ?

Pourquoi sur ton schéma AD vaut (4-x²) ?

j'ai du mal à comprendre cette question !

Cartmanez, comment as-tu calculé l'aire en Partie II-1. ?

clochettemimi, quel tableau de variations as-tu trouvé en Partie I-2.c ?

tableau de variation :

f est croissante de 0 à 2 et décroissante de 2 à 2.

Tu connais donc les variations de f.
f(x) est maximale pour quelle valeur de x ? Que vaut alors ce maximum ?

f est maximale pour 2. Ce maximum vaut 2

f est maximale pour x=V2. Ce maximum vaut 2.
OK. Donc tu as la réponse pour l'aire.

donc pour x =2, A(x) = 2.

ABCD est un carré ?

car AB = 2
et AD = 2