Salut !

euh j'ai pas regardé ce que valent les E_lambda pour de vrai... mais le résultat que tu essai de montrer est soit faux, soit vide de sens... je veux dire, si il existe un seul lambda telle que E_lambda est de dimension 2, alors on peut prendre lambda_n la suite constante égal à lambda, et on aura dim(E_lambda_n))=2 pour tous n sans que lambda_n tendent vers l'infinie et l'enoncé est faux.

et si ce n'est pas le cas il est vrai uniquement parcequ'il n'y a aucune suite lambda_n de la sorte...

Pardon, j'ai oublié de préciser: les lambda sont supposés tous distincts.

bonjour
l'ensemble des solutions de P_lambda étant de dimension 2, dire que le sous espace vectoriel E_lambda est de dimension 2 signifie que E_lambda est l'ensemble des solutions de P_lambda.
Pour la suite, je triche: je regarde dans le tome 4 du livre de jean marie Monnier (dunod) (Analyse) (j'ai l'édition de 1995)
De l'exercice 7.4.18 de ce livre, on déduit que pour tout lambda, tout zéro d'une solution y est un point isolé. (exercice corrigé dans le livre)(je peux éventuellement mettre les étapes de cette démonstration)
l'ensemble des zéros étant constitués de points isolés et étant inclus dans un segment, est donc fini.(Bolzano W..)
Je triche encore et je regarde l'exercice 7.4.19. Comme q est positive, de cet exercice on tire le résultat précieux suivant: Si lambda2>lambda1, alors, entre deux zéros d'un y1 appartenant à E_lambda1, il existe un zéro de tout y2 appartenant à E_lambda2.
y1 et y2 s'annulant en 0 et en 1, le nombre de zéros de de y2 est alors strictement supérieur au nombre de zéros de y1.
Alors, si lambda_n est un terme de la suite, il n'existe qu'un nombre fini de termes de la suite qui lui soient inférieurs.(Sinon une solution y_n de P_lambda_n aurait une infinité de solutions)
Si la suite était majorée par un réel lambda, les résultats précédents prouveraient que toute solution y de P_lambda aurait une infinité de zéros entre 0 et 1; or il a été dit aussi que ce nombre est fini. Contradiction. La suite n'est donc pas majorée.
Une suite non majorée qui possède la propriété que pour tout n les termes de la suite inférieurs à lambda_n sont en nombre fini, ne peut être qu'une suite qui tend vers +infini. en effet...

Merci beaucoup!
Je connaissais le résultat d'entrelacement des zeros, mais je n'y avais pas pensé ici.
Par contre maintenant je me demande si on peut déterminer pour quels lambda (en fonction de q), dim = 2, ni même si il en existe!
Par exemple pour q constante, dim<=1.

Bonjour,
Je réalise quelque-chose:
Soient x0, y0 et m trois réels quelconques. Il existe alors une seule solution y de notre équation différentielle telle que y(x0)=y0 et y'(x0)=m. Le sous-espace vectoriel engendré par y est l'ensemble des solutions z telles que z(xo)=kyo et z'(x0)=km où k est un réel quelconque.
En regardant le cas où y0 est nul , on voit que ceci signifie que l'ensemble des solutions qui s'annulent en x0 est un sous espace de dimension 1 (ou 0)
L'ensemble des solutions qui s'annulent en 0 et en 1 est donc l'intersection de deux tels sous-espaces vectoriels et ne peut donc avoir pour dimension 2.
D'ailleurs, il existe une solution y de l'équation différentielle telle que y(o)=a où a est un réel non nul quelconque. Ce qui prouve que E_lambda ne peut contenir toute solution de P_lambda et ne peut avoir pour dimension 2.