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Oral ESCP 2003 analyse

Posté par
solaris 11-10-08 à 11:15

Bonjour je bloque pour une question (parmi d'autres), si l'un (ou +) d'entre vous est motivé pour me donner un petit coup de pouce je lui en serai très reconnaissant. Merci...


ON considère F définie par F(x)=01ln(1+xt2)dt

J'ai déjà montré que F est croissante sur ]-1;+[ et qu'elle est croissante sur le même intervalle.

Ensuite j'ai montré que pour tout u > -1  et pour tout réel k non nul tel que 0 < u-|k| on a :
|ln(u+k) - ln(u) - k/u | k2/[2(u-|k|)2.


Mais la question suivante m'embête un peu plus :

pour tout réel x > -1 et pour tout réel h non nul tel que -1 < x - |h|, on pose :

D(x,h)= (1/h)[F(x+h) - F(x) -h01t2/(1+xt2) dt

et il faut montrer que pour tout x>0 et pour tout |h|<x on a :

|D(x,h)| |h|/10

Je pensais utiliser l'inégalité des accroissements finis, puis peut-être Taylor avec reste intégral, mais je ne vois pas comment faire.....

Posté par
solarisre : Oral ESCP 2003 analyse 11-10-08 à 14:49

Ola, y a-t-il quelqu'un ?

Posté par
solarisre : Oral ESCP 2003 analyse 11-10-08 à 16:17

Personne n'est intéressé par cette magnifique question ?  

Posté par
franzre : Oral ESCP 2003 analyse 11-10-08 à 16:37

Bonjour,

il suffit de reprendre le résultat de la question précédente avec u=1+xt^2 et k=hxt^2 que tu intègres entre 0 et 1. Ca ne devrait pas trop poser de problème.

Posté par
solarisre : Oral ESCP 2003 analyse 11-10-08 à 17:01

merci,

j'arrive à |ln(1+ [(hxt2)/(1+xt2)] -h + h/(1+xt2) | (hxt2)2/(2(1+xt2 -|hxt2|)2.


Mais après je ne vois pas le rapport avec D(x,h)....

Posté par
solarisre : Oral ESCP 2003 analyse 11-10-08 à 17:04

correction :

je trouve |F(x+h)-F(X) -h +h/(1+xt2) |   (hxt2)2/(2(1+xt2-|hxt2|)2

Posté par
solarisre : Oral ESCP 2003 analyse 12-10-08 à 09:04

et après ?  please

Posté par
solarisre : Oral ESCP 2003 analyse 12-10-08 à 10:41

je ne vois vraiment pas....

Posté par
franzre : Oral ESCP 2003 analyse 12-10-08 à 14:28

Désolé, j'avais fait une erreur de frappe lors de mon dernier message.

avec u=1+xt^2 et k=ht^2 tu trouves

\|\ln(1+(x+h)t^2)-\ln(1+xt^2)-\frac {ht^2}{1+xt^2}\| \leq \frac {(ht^2)^2}{2(1+(x-h)t^2)^2}

or x-h\geq 0 donc tu montres facilement que \frac {(ht^2)^2}{2(1+(x-h)t^2)^2}\leq \frac {(ht^2)^2}2=\frac 1 2 h^2t^4

donc


\Bigint_0^1\|\ln(1+(x+h)t^2)-\ln(1+xt^2)-\frac {ht^2}{1+xt^2}\|dt \leq \Bigint_0^1\frac 1 2 h^2t^4 dt = \frac 1 2 h^2\Bigint_0^1 t^4 dt = \frac 1 {10} h^2      \green (1)

De plus
\Bigint_0^1\|\ln(1+(x+h)t^2)-\ln(1+xt^2)-\frac {ht^2}{1+xt^2}\|dt \geq \|\Bigint_0^1\(\ln(1+(x+h)t^2)-\ln(1+xt^2)-\frac {ht^2}{1+xt^2}\)dt\|=\|F(x+h)-F(x)-\Bigint_0^1\frac {ht^2}{1+xt^2}dt\|      \green (2)

En associant les deux expressions \green (1) et \green (2) divisant  par h tu arrives au résultat

Posté par
solarisre : Oral ESCP 2003 analyse 12-10-08 à 16:25

Merci beaucoup pour votre réponse, je me disais bien que quelque chose n'allait pas hier...
mais bon je ne suis pas sur que j'y serais complètement arrivé même avec les bons changements...

Merci encore et bonne fin de week-end...

Posté par
franzre : Oral ESCP 2003 analyse 12-10-08 à 18:05

avec plaisir


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