Niveau première

orthogonalité

Posté par naz450 (invité) 06-12-06 à 22:10

bonjour, bonsoir
voila je suis entrain de faire un exercice et je bloque a une speudo démonstration

il faut justifier que

u et sont deux vecteurs orthogonaux si et seulement si ||u+v||²-||u||²-||v||²=0

merci d'avance si quelqu'un aurait une idée

Posté par re : orthogonalité 06-12-06 à 22:58

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u}.\vec{v}=0$

notons que de manière générale : $3$ (\vec{a})^2=\vec{a}.\vec{a}=||\vec{a}||^2$

donc on a:
$3$ ||\vec{u}+\vec{v}||^2-||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2=0$

$3$ \Longleftrightarrow (\vec{u}+\vec{v})^2-||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2=0$

$3$ \Longleftrightarrow ||\vec{u}||^2+2\vec{u}.\vec{v}+||\vec{v}||^2-||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2=0$

$3$ \Longleftrightarrow 2\vec{u}.\vec{v}=0$

$3$ \Longleftrightarrow \vec{u}.\vec{v}=0$

$3$ \Longleftrightarrow \rm \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux$

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