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orthogonalité dans un espace euclidien de dimension 3
Bonjour a tous et pour commencer :BONNE ANNEE 2010.
Alors voila ,je suis en pleine recherche sur la lecon du capes portant sur l'orthogonalité (droites orthogonales,droites et plans orthogonaux...
et bien que je sois déjà bien avancée je sèche sur trois points .C'est donc les yeux remplis d'espoir et de reconaissance que je me permets de solliciter votre aide.
Point n°1:j'ai lu dans un de mes bouquins que pour tout point A de l'espace de dimension 3 et pour toute droite d de cet espace ,il n'existe qu'un seul plan orthogonal à d passant par A.Je suis d'accord avec cette affirmation mais j'avoue être bien imcappable de le prouver dans le cadre d'une structure euclidienne.
Point n°2:de même ,je n'arrive pas à prouver l'xistence et l'unicité de la perpendiculaire commune à deux droites de l'espace de dimension 3.
ENfin ,le dernier point est un petit exercice que je voudrais mettre en applications mais que je n'arrive à résoudre qu'avec une simillitude alors que l'utilisation du produit scalaire me semblerait plus adaptée.
Dons ,soit ABC un triangle isocèle en A.Le mileu M du côté [BC] se projette orthogonalement sur(AC) en H.P est le milieu de [MH].Montrer que les droites (AP) et(BH) sont perpendiculaires.
Que vous ayez put ou non m'aider,merci en tout cas d'avoir prit le temps de lire tout mon petit roman.
Bonne journée.
Bonjour et merci pour tes vœux... et je t'envoie les mien en retour.
Je pense que tu es d'accord avec le fait qu'un vecteur non nul et un point définissent de façon unique une plan de 
3: celui passant par ce point et dont le vecteur donné est un vecteur normal... et que deux plans sont parallèles ssi leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
partant de là, le point 1 est évident car la droite donne la direction normale au plan et le point définit sa position... ce plan existe et est donc unique.
point 2 : l'unicité n'est pas réalisée si les deux droites sont parallèles !... mais ce cas est trivial à traiter.
supposons donc les deux droites D et D' non parallèles.
on peut traiter cela de façon analytique...
soit H
D (trois coordonnées dépendant d'un paramètre 
)
soit H'D' (trois coordonnées dépendant d'un paramètre 
)
notons que les coefficients de et sont respectivement des coordonnées de vecteurs directeurs de D et D'... donc non proportionnels puisque D et D' ne sont pas parallèles.
vec(HH') orthogonal à vec(D) et à vec(D') te donnent deux équations linéaires en et et ce système admet une unique solution (tu remarqueras que le déterminant de ce système est la norme du produit vectoriel de vec(D) et vec(D'))... ce qui prouve que les points H et H' existe et sont uniques... d'où existence et l'unicité de la perpendiculaire commune.
point 2 toujours, de façon géométrique :
(toujours D et D' non parallèles)
unicité :
soient 
et ' deux perpendiculaires communes distinctes à D et D'
soient 
et ' les plans vectoriels orthogonaux à vec(D) et vec(D')
' puisque D et D' non parallèles
'=vec(u), droite vectorielle.
une perpendiculaire à D (resp D') a sa direction dans (resp(')
donc et ' ont même direction : vec(u)... en clair elles sont parallèles... et donc coplanaires...
=(AA') et '=(BB') avec A et B sur D ; A' et B' sur D'
AA'B'B sont donc coplanaires et ce quadrilatère a donc 4 angles droits... ce qui prouve que (AB) et (A'B') sont parallèles... c'est à dire D et D' parallèles... absurde... donc on ne peut avoir deux perpendiculaires communes distinctes.
existence :
je définis , ' et u comme avant. vec(u) est une direction orthogonale à D et à D'.
soit P le plan (affine) contenant D et la direction vec(u)
D' n'est pas contenu dans P (sinon elles seraient parallèles car coplanaires et de même vecteur normal u)
donc P coupe D' en un point H'
Soit 
le plan perpendiculaire à D passant par H' (notons que vec()=). Il coupe D en H
(HH') est perpendiculaire à D (car contenue dans )
(HH') est perpendiculaire à D' car vec(HH') et vec(HH')vec(P) donc vec(HH')=vec(u)... qui est orthogonal à D'
moralité : (HH') est une perpendiculaire commune.
Je te remercie MatheuxMatou(joli le pseudo!) de toute l'aide que tu m'as déjà apporté.Je vais me montrer bien ingrate en te priant de m'aider encore quelque peut s'il te plait.
Je suis d'accord avec tout ce que tu as marqué mais mon problème est que cela ne colle pas avec la teneur exacte de ma lecon.
Voila ,par exemple ,pour le point n°1 par exemple ,il est clair que ta solution est ce qu'il ya de plus simple mais j'ai introduit l'unicité d'un plan passant par un point et orthogonal a un plan donné dans un paragraphe où je ne parle pas encore du vecteur normal.L as eule défintion dont je dispose à ce stade de la lecon est qu'une droite est orthogonale a un plan si elle est orthogonale a deux droites secantes de ce plan et je voudrais prouver l'unicité du plan orthogonal passant par un point donné seulement à partir de cette definition(je sais,c'est tiré par les cheveux mais j'ai repris le plan d'un cours de troisième année qui montre son potentiel dans la suite de son plan).
Pour ce qui est de la perpendiculaire commune,je me permets de prendre encore un peu de temps pour bien comprendre tout ce que tu as marqué.
En tout cas ,merci encore pour tout ce que tu as deje fait.
alors le mieux est de tout revoir depuis le début car il n'y a pas unicité d'un plan passant par un point et perpendiculaire à un plan donné !
Tout a fait d'accord sur le fait qu'il n'y ai pas d'unicité d'un plan orthogonal a un plan donné et passant par un point.Quand on tape trop vite ,on s'embrouille et voila le resultat.
Je voulais parlé de l'unicité d'un plan orthogonal a une droite (d) et passant par un point A donné ce qui au point de vue des idées parait nettement plus vrai.
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