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Passage a la limite (Convergence faible/ CV Dominée...)

Posté par
PDE 19-12-11 à 20:25

Bonsoir.J'ai envie de savoir la justification sur le passage à la limite ci dessous:

Etant donner les fonctions: $P\in L^2(0,T;H^1) , v\in H^1_0$ et la suite $I_n\in L^2(0,T;L^{2})$  tq:
$$I_n\rightarrow I \text{ dans }  L^2(0,T;L^{2})$$ et
$$I_n\rightharpoonup I \text{ dans } L^2(0,T;H^1)$$

Quelle est la justification du passage a la limite suivant:
$$\lim_{k \to \infty}\int I_n P v=\int I P v$$ ??

Posté par
Tigweg Correcteurre : Passage a la limite (Convergence faible/ CV Dominée...) 19-12-11 à 20:44

Bonsoir,

Peux-tu au préalable rectifier les quelques fautes de frappe, et définir avec precision tes notations, stp?(notamment L^2( 0, T, H^1) )

Merci!

Posté par
PDEre : Passage a la limite (Convergence faible/ CV Dominée...) 19-12-11 à 21:17

et bien !!! sincèrement je vois pas qu'il ya des fautes dans les notations !!! sauf peut etre que j'ai pas mis le $L^2(0,T;L^2(Omega))$ et $L^2(0,T;H^1(Omega))$cad l'espace dans lequel on travail (le latex fait des beug). j'ai oublier aussi de mentionner qu'on travail en 1D et en 2D.

Si tu trouve d'autre fautes ou qu'il ya un manque d'information, fait le moi savoir plus précisément.

Posté par
Arkhnorre : Passage a la limite (Convergence faible/ CV Dominée...) 19-12-11 à 21:58

Bonsoir.

On intègre sur quelle variable ? C'est à t \in [0,T] fixé ?

Qui est I ? Comment peut-il ne pas apparaître dans l'expression de la limite ? C'est la fonction constante égale à 1 ?

Posté par
PDEre : Passage a la limite (Convergence faible/ CV Dominée...) 19-12-11 à 22:42

Bonsoir,
On intègre sur [0,T]x Omega. mais on peut se limiter sur la variable d'espace càd x

Pour le I !!! J'ai pas vue l'erreur. Il apparait dans le deuxième coté de l'égalité càd: $$\lim_{n \to \infty}\int I_{n} P v=\int  I P v$$  (je m'excuseeeee)

  I(grand i) est la limite de I_n (faible ou forte selon l'espace)

RMQ:
J'ai un problème avec le Latex qui est ici !!! il n'affiche pas certains caractères !!

Posté par
Arkhnorre : Passage a la limite (Convergence faible/ CV Dominée...) 19-12-11 à 23:01

Histoire de préciser les choses pour Tigweg qui n'est peut-être pas familier avec ces notations, on veut prouver que \lim_{n \to \infty} \int_0^T \left( \int_{\Omega} I_n(t,x)P(t,x)v(x)dx \right) dt = \int_0^T \left( \int_{\Omega} I(t,x) P(t,x) v(x) dx \right) dt

La notation P \in L^2(0,T, H^1(\Omega)) signifie, au moins moralement, que P est une fonction de deux variables (t,x) \in [0,T] \times \Omega telle que pour tout t \in [0,T] fixé, la fonction x \to P(t,x) (que je note par P(t,.)) appartient à H^1(\Omega), et que la fonction t \to ||P(t,.)||_{H^1} appartient à L^2(0,T), c'est-à-dire que \int_0^T ||P(t,.)||_{H^1}^2 dt < \infty.

J'ai dit "au moins moralement", car j'ai passé sous silence les difficultés de mesurabilité : est-ce que on exige la mesurabilité conjointement par rapport aux deux variables ? est-ce que c'est pour tout t ou seulement pour presque tout t ? vu que ce sont des classes d'équivalence de fonctions, quelle est la relation d'équivalence ?
Je précise que je n'ai pas les réponses à ces questions, je n'ai jamais vraiment étudié ces espaces là ...

J'essaierai de regarder ça demain, mais je ne promet rien. Ce doit être classique, tu devrais regarder dans n'importe quelle bible sur les EDP.

Néanmoins, je pense que, sans vouloir faire de publicité pour les voisins d'en face, des gens comme remarque des maths.net seraient plus à même de te répondre ...

Posté par
PDEre : Passage a la limite (Convergence faible/ CV Dominée...) 19-12-11 à 23:07

Je te remercie Arkhnor. personnellement, j'ai voulu faire sortir des convergences faibles ect... mais le produit de fonction ne me permet pas de le faire ect...
J'ai voulu utiliser le théorème de CVD mais rien a faire je ne tombe pas sur L^1 ect...

Aller a demain.

Bonne nuit

Posté par
Tigweg Correcteurre : Passage a la limite (Convergence faible/ CV Dominée...) 20-12-11 à 10:02

Bonjour et merci Arkhnor pour tes précisions!
Je n'ai moi non plus jamais étudié ces espaces là, et de toute façon tout cela fait un peu loin pour moi...
Bonne journée!


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