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Passer d'une équation de parabole à une équation réduite.
Bonjour j'aimerai savoir comme l'on passe d'une équation de parabole à une équation reduite.
Autant pour une elipse j'y arrive ou encore une hyperbole mais pour une parabole ... le p me pose souci !
Prenons un ex : 2x2+2y2-x-y+1=0
Merci d'avance
Salut,
Bon je me risque à répondre à ton message même si je ne suis pas sûr d'avoir la réponse que tu cherches:
Equation réduite d'une parabole:
y=ax²+bx+c
Ton exemple c'est une équation de cercle qui peut être réduite en:
(x-1/4)²-1/16+(y-1/4)²-1/16+1=0
Bonjour,
Ton exemple est un cercle...
2x²+2y²-x-y+1=0
x²+y²-x/2-y/2 +1/2 = 0
(x-1/4)²+(y-1/4)² + 3/8 = 0
Et encore, c'est un cercle de rayon < 0, autrement dit c'est 
...
impossible ! oh non !
J'ai calculer MA/dist(M,(BD)) ou (BD) une birectrice de la parabole d'équation y=1-x et A le foyer de coord (0;0)
x^2+y^2/{(x+y-1)/2} =1
Non ?
J'ai compri mon erreur ... j'ai oublié un carré ... oh la la laa ...
alors on a : x^2+y^2-2*x*y+2*x+2*y-1
avec : x^2+y^2-2*x*y+2*x+2*y-1Bonjour,
Le lieu est invariant par la permutation x <-> y, donc symétrique par rapport à la première bissectrice x = y. Cela suggère fortement un changement de variable comme :
x-y = X
x+y = Y
Il y a fort a parier que dans ce nouveau repère tu auras au moins une forme en Y = aX²+bX+c, ou X = aY²+bY+c, je ne sais pas encore, mais en tout cas facile à mettre sous forme canonique
C'est un changement de variable dans lequel la première bissectrice devient un axe, et l'autre est perpendiculaire.
A la réflexion, il vaut mieux prendre l'axe des Y comme axe de symétrie.
Le changement de variable serait donc plutôt :
x+y = X
x-y = Y
Remplace x par (X+Y)/2 et y par (X-Y)/2. Dans ce nouveau repère, tu devrait arriver à une équation en Y = aX²+bX+c
alors, après réflexion j'ai :
mon équation peut s'écrire : (x-y)^2+2x+2y-1=0
soit : (x-y)^2 +2(x+y) -1 =0
donc Y = x-y
?? non ??
Tu vois, tu y viens, à un changement de variable...
(x-y)^2 +2(x+y) -1 =0
pose x+y = -Y, x-y = X
tu as :
X²-2Y-1 = 0
Y+1/2 = X²/2
Fais encore un changement de variable :
Y+1/2 = Z
d'où
Z = X²/2
Il faut bien comprendre que tu n'atteins la forme canonique que dans le bon repère, celui dont l'origine est au sommet de la parabole, l'axe des X est la tangente eu sommet, et l'axe des Y est l'axe de symétrie de la parabole. D'où ces multiples changements de variable, qu'il faut interpréter comme des changements de repère...
Je dois supprimer le terme en xy ? et cela en faisant une rotation de 
/4 car A=C si on considere A et C comme les coef devant x2 et y2 dans mon équation de parabole.
Dela on pose z=exp(ithéta) * Z ou Z affixe dans le nouveau repère et z affixe dans l'ancien repere.
Dela je tire les nouvelles coordonnées :
x= cos/4X-sin/4Y
y=sin/4X+cos/4Y
Je reinjecte dans l'équation et cela devrait etre bon ? enfin j'ai mon équation canonique ?
C'est à peu près ce qu'on a fait jusqu'à maintenant, au facteur 
2/2 près, qui effectivement te permet de conserver la même norme, donc de laisser p invariant.
A mon avis, à cause du terme -1 il manquera encore une translation pour arriver à la vraie forme canonique, un peu comme je l'avais fait avec mon Z = Y+1/2
De toute façon, tu commences par la rotation et on fignolera le détail de la translation après.
Non ... j'ai peur qu'il y ai un problème ...
Avec mon prof on a juste fait la rotation et non la translation ... le -1 me gene en effet ...
Reprends ta rotation, et fais appel à tes souvenirs pour la translation, c'est du programme de Terminale voire de Première, ça doit être considéré comme acquis...
Ah, OK
Donc X = (-2Y²+1)(1/22) = -Y²/2 - 1/22
Donc X+1/22 = -Y²/2
Et ici la translation est en X : X' = X+1/22 donne
X' = -Y²/2
NB En tournant les axes dans l'autre sens, tu serais arrivé à une forme en Y' = aX²
Alors j'ai essayé de refaire votre calacul, donc on remplace X par un X' bien choisit de façon à supprimer le 1 de toute à l'heure, ici le 1/2 !
Donc mon équation réduite est Y2=-X'2 ?
Dire que je me bats pour que les utilisateurs du site mettent des parenthèses là où il faut, et que je ne les mets pas moi-même, j'ai honte...
Ici partant de Y2=-2*X+1/2 j'aurais du écrire :
-Y2=2*X-1/2
-Y2/2 = X - 1/(22)
et la translation finale est X' = X - 1/(22) pour aboutir à
X' = -Y²/2
Bon je pensais être libre pour réussir la suite mais je bloque à nouveau ... pouvais vous encore m'aidez ?
On me demande maintenant de tracer cette parabole !
J'ai le Foyer A(0,0), une Equation réduite : Y2=-X'2 masi mon parametre et fonction de X' ?!
Non, dans le dernier système d'axe, c'est le sommet qui est en (0;0)
Le foyer est sur l'axe de symétrie, à la distance p du sommet, du côté du "creux" de la parabole.
La directrice est perpendiculaire à l'axe de symétrie, à la distance p de l'autre côté du sommet, au-delà de la "pointe" de la parabole
Attention : ici 2p = 1/2, donc p = 1/(22)
Donc j'ai mon foyer à la distance p de ma droite (BD), mon sommet en (0,0)
J'ai la relation MH'/MA = 1 car c'est une parabole. ou H' le projeté orthogonal de M sur BD et A le projeté ... enfait LeHibou, c'est le problème que tu m'avait aidé ici : https://www.ilemaths.net/sujet-exo-sur-la-determination-d-un-conique-avec-de-la-geometrie-309951.html
Je n'avait pas voulu posté cette question sur le mm topic car je pensais que cela n'avait rien avoir, c'était une méthode qui me manquais mais je crois que non ...
Donc la je bloque ...
Il me faut mes tangentes ...
Je dit cela, mais je pourrai très bien me dévrouiller avec une règle et un crayon pour tracer ma parabole et de chercher le fameux MA=MH' mais bon, je pense que cela n'est pas rigoureux ..
Me disais bien que je l'avais déjà vue, cette équation-la !
Je veux bien essayer de t'aider, mais je ne sais pas quelles tangentes tu cherches...
Non c'est bon je m'en sort ... pas besoin de calculer tout le tatouin !
Je suis trop contant, j'ai fini cet exo ! enfin ... m'aura fait soufrir celui là pourtant pas si difficile mais les vacances y sont pour qqch ... XD
En tout cas merci à tout le Forum ile math et notament à LeHibou ! Mercii
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