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Passer de Q à R, ayant une fonction continue.
Salut,
J'ai besoin de votre aide.
J'arrive pas pas à démontrer la dernière question de cet exercice.
L'énoncé:
"Soient f : 
continue telle que ∀x,y ∈ , f(x+y) = f(x)+f(y) ."
Les questions:
a) Calculer f(0) et montrer que pour tout x ∈ , f(−x) =−f(x) .
b) Justifier que pour tout n ∈ 
et tout x ∈ , f(nx) =nf(x) .
c) Etablir que pour tout r ∈
, f (r ) =ar avec a = f (1) .
d) Conclure que pour tout x ∈ , f (x) =ax .
-----
De a) jusqu'à c) , je ne trouve aucune difficulté dans la démonstration.
Mais concernant la question d) je ne sais pas comment passer de à ,....??
Merci d'avance!
bonsoir
c'est la densité de Q dans IR
si x est réel alors il existe une suite (Un) dans Q qui converge vers x
or f(Un)= a.Un
comme f est continue f(Un)----------> f(x), et a.Un ---------> a.x
donc f(x) =a.x
Bonsoir,
Désolée,...
Au fait, je n'arrive pas à comprendre la notion de la densité d'un ensemble dans un autre pour l'appliquer dans l'exercice.
Si vous me l'expliquez de plus , j'en serai tellement reconnaissante.
Salut 
En gros un ensemble est dense dans un autre si ses éléments sont présents un peu partout (ouille, la vulgarisation fait mal ...).
Plus mathématiquement, dans le cadre de R, un ensemble est dense dans R si on peut trouver un élément de cet ensemble dans n'importe quel intervalle de R. On peut montrer que c'est équivalent à dire que tout réel est limite d'une suite d'éléments de notre ensemble.
Bref, c'est le cas de Q ! Entre deux réels, on a toujours un rationnel et tout réel est limite d'une suite de rationnel (voir la suite proposée par Elhor_Abdelali).
Dans ton exercice, je te conseille d'utiliser la caractérisation séquentielle de la densité.
Salut,
Le fait de passer d'une limite à une égalité me reste un petit peu bizarre. Mais de toute façon, j'ai bien compris de quoi il s'agit, merci.
La caractérisation séquentielle de la densité, C'est bien la méthode suggerée par "jaber", non??
Mais, quelle est la chose qui prouve que la condition de la continuité de la fonction f est nécessaire pour passer de Un-->x à f(Un)-->f(x) , sinon y-a-t-il un contre exemple au cas de supposer f en tant que discontinue?
A propos de la suite proposée par "elhor_abdelali", est-il bien ceux-ci:
on a 
x
(10^n.x)-1 
E(10^n.x)10^n.x
x-1/(10^n)E(10^n.x)/(10^n)x
En calculant la limite vers +oo on aura E(10^n.x)x
La chose qui prouve que x , 
au moins une suite, quix
Non?
Mais est-ce qu'on peut dire que 
danse dans ?
Certains mathématiciens ont vu danser la salsa dans , mais ce n'est pas encore démontré... 
Non plus sérieusement, n'est pas dense dans . Pour continuer dans la lignée de Nightmare, il t'a dit qu'un ensemble est dense dans si il y a de ses éléments un peu partout dans . D'une manière équivalente, un ensemble A est dense dans si on peut trouver des éléments de A dans n'importe quel intervalle de . Or entre deux entiers, il y a de grands "trous". Par exemple, tu ne peux trouver aucun entier dans l'intervalle [1/4 ; 3/4]... n'est donc pas dense dans .
Sinon la caractérisation séquentielle de la densité est bien la méthode proposée par jaber.
A dense dans B 
b B, il existe une suite (an) de A telle que anb.
Enfin, pour passer de unx à f(un)f(x), on est obligé d'avoir f continue.
En effet, dans notre cadre, pour une fonction f définie sur un ensemble A, on a :
f continue sur A Pour toute suite (an) de A telle que ana, a A, on a f(an)f(a).
Tu veux un exemple où ça marche pas ?
Regarde la fonction f définie sur telle que f(x)=0 si x0 et f(x)=1 si x>0. f est pas continue.
On considère la suite an=1/n>0.
Alors n, f(an)=1 Donc f(an)1.
On a d'autre part an0, et f(0)=0.
Donc an0 mais f(an) ne tend pas vers f(0)=0.
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