Bonjour, j'ai à faire cet exercice pour la rentrée mais il y a quelques questions où je bloque. Pourriez-vous m'aider s'il vous plait
g(x)= Ln(1+x)-[x-(x²/2)+(x^3/3)]
après avoir étudier les variations de la fonction, il m'est demandé à partir de g(0) (qui vaut donc 0) d'en déduire que pour tout réel positif ln(1+x)<ou égale à (x-(x²/2)+(x^3/)) et que ln(1+x) >ou égale à x-x²/2 et là je ne voit pas comment faire.
Puis à l'aide de -1/2<ou égal à (ln(1+x)-x)/x² <ou égal à -1/2+x/3 (obtenu par transformation des résultat précédents), montrer que f(x)=(ln(1+x))/x est dérivable en 0 et que f'(x) = -1/2, ce qui me perturbe puisque selon moi 0 est une valeur interdite et f(0) n'existe donc pas, mais il faut croire que je me trompe...
merci d'avance pour votre aide

*** message déplacé ***

virgi8612,
comme tu as pu le lire lors de ton inscription, le multi-post n'est pas toléré sur ce site. Merci d'en prendre note.
Si tu penses que ton exercice est parti dans les profondeurs du forum, poste un petit message dans ton topic, il remontera parmi les premiers.

bonsoir  oceane etvirgi et bonne annee 2007

g(x)= ln(1+x)-[x-(x²/2)+(x^3/3)]  pour  x 0
on a : g(0)= 0
pour x > 0 , g(x)= ln x( 1+1/x) -x +x²/2 - x³/3
                 = lnx + ln (1+1/x) -x +x²/2 - x³/3              = x³ ( ln x / x³-1/x² +1/2x -1)+ln(1+1/x)
lim lnx / x³ =0
x +
de meme pour -1/x² , 1/2x  et ln (1+1/x)
donc lim g(x)= -
     x +
g'(x)= 1/1+x -1 +x -x²
     = 1 -1+x -x² -x +x² -x ³   /  1+x
     = - x ³  /  1+x
   donc g'(x) 0 car x 0
donc g est decroissante de g(0)=0 à -
donc g(x) 0 donc :
ln(1+x) x-x²/2 +x³/3
pour montrer que : ln(1+x) x- x²/2
tu poses h(x)= ln(1+x) - x + x²/2
h(0)=0 , limh(x)=+
         x+
h'(x)= 1/1+x  -1 +x= 1-1-x+x +x² /1+x
     = x² /  1+x donc h'(x) 0
et h est croissante de h(0)=0 à +
donc h(x) 0 et ln (1+x) x- x²/2

donc on a pour tout x 0 :
x - x²/2 ln (1+x) x-x²/2 + x³ /3
donc ; -x²/2 ln(1+x) -x -x²/2 +x³ /3
on divise par x² > 0 , donc on ne change pas le sens des inegalites :
  - 1/2 ln(1+x)-x /x² -1/2 + x/3
donc tu passes à la limite quand x tend vers 0
lim (-1/2)= -1/2 et lim (-1/2+x/3)= -1/2
le theoreme des gendarmes donne :
lim ln(1+x) - x / x² = -1/2
x0
soit f(x)= ln(1+x)/ x  pour x> 0
   et f(0)=1
f est continue en 0 car
lim f(x) =1
x 0
etudions la derivabilite de f en 0
lim f(x) - f(0)/ x =lim ln(1+x)/x -1  / x = lim ln(1+x) - x  / x² =-1/2
x0
donc f est derivable en 0  et f'(0)= -1/2
je comprends maintenant ton probleme , il faut definir f(0) qui n'est pas dans l'enonce ,de plus il faut le defiinir de maniere que f soit continue en 0 sinon on ne parle meme pas de derivabilite
bon courage

merci beaucoup de votre aide et meilleurs voeux à vous aussi