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Petit calcul de dérivée d'exponentielle...
Bonsoir,
J'ai juste besoin d'un petit coup de pouce.
J'ai une fonction définie sur R telle que f(x)= e^x - (e^a)(x-a+1) et j'aimerai sa dérivée.
Pour être plus précise, je dois montrer que la courbe représentative de la fonction exponentielle est au-dessus de sa tangente (T) sachant que ces deux courbes sont sécantes en A d'abscisse a (a appartenant à R). L'équation de la tangente étant du type y=f'(x)(x-a)+f(a), je trouve: y=(e^a) (x-a+1).D'où la fonction f du début de ma question.
J'ai supposé que a est un réel fixé quelconque donc e^a est aussi fixé et je trouve: f'(x)=e^x - e^a. Est-ce juste ? Merci de me répondre, ce serait gentil.
Désolée, j'ai fait une erreur, (T):y=f'(a)(x-a)+f(a) et j'ai simplifié l'écriture de f(x) de sorte qu'elle devient:
e^x - x*e^a - (e^a)(1-a).
Bonsoir,
Tu as donc à étudier le signe de la fonction définie par:
On étudie les variations de :
donc sur ,
et
est décroissante.
et sur ,
et
est croissante.
admet donc un minimum global en
.
Ainsi ,
c' est à dire
La courbe représentative de la fonction exponentielle est bien au dessus de sa tangente en tout point. On dit que la fonction est convexe.
Merci beaucoup ! Tu es passé tout de suite à l'étape suivante de mon topic, mais c'est parfait. Merci encore, cailloux.
Parfois je désespère un peu et je me demande si ce forum est toujours vivant ... 
Parfois je désespère un peu et je me demande si ce forum est toujours vivant ...
Comprends pas
:?Disons que les gens ont tendance à ne pas répondre à mes topics. Il n'y a pourtant rien de très compliqué, je demande une vérification et j'explique le plus possible -sauf en cas de fatigue extrême. Peut-être que la longueur du topic leur fait peur ? En tout cas, c'est parfois désespérant quand on est dans la mouise.
Ah peut-être encore une question pour toi:
tu dis c'est-à-dire f(x)>= à 0.
Je comprends pas trop cette partie. Est-ce que tu pourrais m'expliquer ?
Non: comme est l' abscisse du minimum de
, on a
pour tout
Mais donc
Tu sais, il y a beaucoup de monde; il faut être patient(e) 
Ok. Une toute dernière question (>.<! please!). Vraiment parce que je suis réveillée depuis 2heures du matin et donc réellement crevée.
comment est-ce que je calcule la limite de fm(x)=(x+m) e^(-x) en - l'infini ?
Désolée, oublie la question, qui est désormais résolue. C'était si simple, et j'étais tellement crevée... Je le suis toujours d'ailleurs. Ah moi les vacances ! Et à toi aussi (pour m'avoir aidée).
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