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petit exercice
Voilà j'ai un petit exercice sur les nombres complexes à faire et je ne suis pas sure d'avoir la bonne démarche pour y arriver.
Pouvez vous m'aider svp?
Merci d'avance.
exo
On considère l'application f qui, à tout nombre complexe z différent de 1, associe le nombre conplexe:
f(z)=(2-iz)/(1-z)
L'exercice étudie quelques propriétés de f.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O,
,
) d'unité graphique 2cm, dans lequel sera représété l'ensemble des points M.
A est le point d'affixe 1
B est le point d'affixe -2i
*On pose z=x+iy avec x et y réels.
Ecrire f(z) sous forme algébrique.
En déduire l'ensemble des points M d'affixe z tels que f(z) soit un réel et représenter cet ensemble.
f(z)= (2-iz)/(1-z)=[(2-i)(x+iy)]/(1-x-iy)=(2-ix-y)/(1-x-iy)=[(2-ix-y)(1-x+iy)]/[(1-x-iy)(1-x+iy)]= (2-2x+2iy-ix+ix²-i²xy-y+xy-iy²)/(1-x+iy-x+x²-iyx-iy+iyx-i²y²)=(2-2x+2iy-ix+ix²+2xy-y-iy²)/(1-2x+x²+y²)
est ca la forme algébrique de f(z) ?
Bonjour
Tu dois écrire f(z) sous la forme a+bi, ce qui n'est pas ta réponse (on doit voir clairement la partie réelle a et la partie imginaire b)
est ce que ce que j'ai trouvé est bon enfin est ce qu'il faut que je prolonge le calcul ce qui donne :
f(z)= (2-2x+2iy-ix+ix²+2xy-y-iy²)/(1-2x+x²+y²) = [(2-2x+2xy-y)i(2y-x+x²-y²)]/(2-2x+x²+y²)
ou il faut que je recommence tout le calcul ??
f(z)=[(2-2x+2xy-y)i(2y-x+x²-y²)]/(2-2x+x²+y²)
f(z)= (2xy-y)i(2y-x)
c'est ça ?
non: il faut mettre f(z) sous la forme a + bi (et laisse le dénominateur sous la forme (1-x)²+y², sans pour autant l'escamoter : on va le retrouver dans a et dans b)
f(z)=[(2-ix-y)(1-x+iy)]/[1-x)²+y²]
f(z)=(2-2x+2iy-ix+ix²-y-iy²+2xy)/[1-x)²+y²]
f(z)=[(2-2x-y+2xy)+i(2y-x+x²-y²)]/[1-x)²+y²]
on a la partie réel a=(2-2x-y+2xy)
et la partie imaginaire b=i(2y-x+x²-y²)
le tout sur [1-x)²+y²]
Pas "le tout sur", mais chacune des deux parties sur
Pas de i dans la partie imaginaire ; à recalculer...
on va dire que j'ai un peu de mal !!
je vois pas où est ma faute
ha d'accord merci!
pour:
En déduire l'ensemble des points M d'affixe z tels que f(z) soit un réel et représenter cet ensemble.
je vois pas ce qu'il faut faire parce qu'on a A et B qui nous servent pas
donc
f(z) réel ssi sa partie imaginaire est nulle
ca donne
i((x²+y²-x+2y)/(1-x)²+y²))=0
on a donc
f(z)=(-2x+y+2)/((1-x)²+y²)
on cherche l'équation d'une droite non?
Pour le deuxième fois : il n'y pas pas de i dans la partie imaginaire.
Non on ne cherche pas a priori l'équation d'une droite (pourquoi donc ?), ce sont les résultats du calcul qui nous donneront la nature de l'ensemble cherché...
on obtient Cette expression est nulle lorsque le numérateur est nul sans que le dénominateur le soit.
...
x²+y²-x+2y=0
équation a 2 inconnues
pourquoi "Cette expression est nulle lorsque le numérateur est nul sans que le dénominateur le soit." ?
a/b = O signifie que a =0 (et b différent de 0 : on ne peut pas diviser par zéro)
x²+y²-x+2y = 0 ressemble à l'équation d'un cercle. Fais une petite recherche dans tes cours ou exercices.
...
equation d'un cercle
C,(O,R)-> (x-x(r))²+(y-y(r))²=r²
ici on a
x²+y²-x+2y = 0
(x-1/2)²+(y+1)²-1/2-1=0
(x-1/2)²+(y+1)²=3/2
l'ensemble des points M est le cercle C
R(1/2,-1)
Presque ! Une étourderie deuxième ligne du calcul.
Dans ta conclusion tu dois préciser centre et rayon (et vérifier qu'aucun pont du cercle n'est à exclure : l'histoire du dénominateur non nul...)
...
x²+y²-x+2y = 0
(x-1/2)²+(y+1)²+1/2-1=0
(x-1/2)²+(y+1)²=-3/2
justement je sais fair le calcul mais je ne sais pas quel est le centre et le rayon du cercle
Ne manque maintenant que la conclusion (n'oublie pas que le dénominateur ne doit pas être nul...)
Bonne soirée.
.
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