Niveau première

Petit probleme avec le produit scalaire ...

Posté par Baobab (invité) 06-03-05 à 10:20

Salut à tous, voilà je bloque sur cet exercice, et je ne sais pas comment proceder pour le faire.

Soit ABC un triangle isocèle en A, l'angle $\widehat{A}$ a pour mesure $\frac{\pi}{5}$ , $BC=1$ . La bissectrice de l'angle $\widehat{ABC}$ coupe $[AC]$ en $D$ .

1. Démontrer que les triangles BAC et CBD sont des triangles semblabes et que $2$BC^2=AB*CD$ .

2. On pose $AB=x$ . Démontrer que $x(x-1)=1$ . En déduire x.

3. a) En projetant orthogonalement A en H sur (BC), démontrer que $2$\vec{BA}.\vec{BC}=\frac{1}{2}$ .
b)En caculant $\vec{BA}.\vec{BC}$ autrement, en déduire que $2$cos(\frac{2\pi}{5}) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$
c) A l'aide des formules de duplication, démontrer que $2$cos(\frac{4\pi}{5}) = \frac{-1-\sqrt{5}}{4}$

Merci d'avance à toutes les personnes qui pourront m'aider.

Posté par re : Petit probleme avec le produit scalaire ... 06-03-05 à 10:37

bonjour ,
je te fait un début
1. Démontrer que les triangles BAC et CBD sont des triangles semblabes
pour montrer que 2 triangles sont semblables, tu peux regarder le rapport des longueurs, ou regarder la mesure des angles.
sachant que tu connais l'angle $\widehat{BAC}$ et que mes $(\widehat{ABC})=mes(\{ACB})$
le mieux, c'est de revenir à la définitions des triangles semblables.

tu as $mes(\widehat{ACB})=mes(\widehat{DCB})$
ensuite, tu sais que la somme des 3 mesures d'angle d'un triangle est égale à $\pi$
donc
$mes(\widehat{ABC})\;+\;mes(\widehat{BCA})\;+\;mes(\widehat{CAB})\;=\;\pi$
ainsi, on a:
$\frac{\pi}{5}\;+\;2mes(\widehat{ABC})\;=\;\pi$

conclusion, tu dois pouvoir finir le calcules et arriver à
$mes(\widehat{ABC})\;=\;\frac{\pi}{5}$

voilà, la démonstration est fini

pour la suite je regarde

Posté par re : Petit probleme avec le produit scalaire ... 06-03-05 à 10:39

petite erreur que tu aura rectifie, je pense:
$mes(\widehat{ABC})\;=\;\frac{2\pi}{5}$

Posté par Baobab (invité)Petit probleme avec le produit scalaire ... 06-03-05 à 10:52

Merci beaucoup de ton aide Muriel, mais je n'arrive pas à démontrer que $BC^2=AB*CD$ .Pourait-tu m'aider?

Posté par re : Petit probleme avec le produit scalaire ... 06-03-05 à 10:58

pour ceci: $2$BC^2=AB*CD$
suufit de traduire les rapports de longueur du aux triangles semblables
ABC et A'B'C' sont semblables tel que
$mes(\widehat{ABC})=mes(\widehat{A'B'C'})$
$mes(\widehat{BCA})=mes(\widehat{B'C'A'})$
alors:
$3$\frac{AB}{A'B'}\;=\;\frac{AC}{A'C'}\;=\;\frac{BC}{B'C'}$
à toi de regarder dans tes triangles

2. On pose AB=x. Démontrer que x(x-1)=1. En déduire x.
tu sais que ABC est isocèle en A, donc AB=AC=x
d'autre part, $mes(\widehat{DBC})=mes(\widehat{DBA})=\frac{\pi}{5}$
(car (BD) est une bissectrice).
ainsi, ABD est isocèle en D, donc AD=DB

mais BCD est isocèle en B (car semblable a ABC)
d'où
AD=DB=BC=1

et voilà, tu as tout

3. a) En projetant orthogonalement A en H sur (BC), démontrer que $2$\vec{BA}.\vec{BC}=\frac{1}{2}$
pour cela, je te dirai simplement que dans un triangle isocèle, la hauteur issu du sommet principal est aussi une médiane.
donc H est ..... de [BC]
avec ceci, tu n'as aucun problème suffit d'utiliser une propriété faisant intervenir les projeté et le produit scalaire

pour la suite, il fadra attendre

Posté par Baobab (invité)Petit probleme avec le produit scalaire ... 06-03-05 à 11:06

Encore merci pour ton aide Muriel pour le reste je vais essayer de me débroullier seul.
Salut.

Posté par re : Petit probleme avec le produit scalaire ... 06-03-05 à 12:11

ok
de rien, ce fut un plaisir

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