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petit problème d'algèbre linéaire
Bonsoir, un ti problème avec un exercice portant sur les courbes algébriques, et qui portent en fait sur un problème de dimension.
On considère 2 courbes cubiques (de degré 3) projectives dans (plan projectif) que l'on note C et D et définies par les polynomes homogènes P(x,y,z) et Q(x,y,z).
C et D s'intersectent en 9 points exactement :
1) J'ai montré qu'il n'existe aucune droite dans P2 passant par 4 de ces points (parmi les points et qu'il n'existe aucune conique contenant 7 de ces points (parmi les points
).
2) On veut montrer qu'il existe une unique conique Q passant par les 5 points .
Je raisonne ainsi :
On sait qu'une conique a une équation de la forme :
avec a,b,c,e,f des coefficients complexes.
Existence
On considère les 5 points qui passent par la conique, en remplaçant dans l'équation ci-dessus on a donc un système linéaire de 5 équations à 6 inconnues (a,b,c,d,e,f).
Il faut alors vérifier que le rang de ce système est 5 (comment vérifier?)
Alors on sait par la suite que la dimension du noyau est de 1 , c'est donc le sev engendré par un vecteur (ou encore droite vectorielle). Et donc dans ce cas on a bien l'existence d'une conique qui passe par ces 5 points.
Mais est-elle unique? ou faut-il raisonner par l'absurde par exemple pour discuter suivant que le rang ne soit pas 5?
Merci
Bonjour,
C'est un peu litigeux ce genre de raisonnement... Il faut des conditions precises sur les points (le fameux "en position générale" des anciens géomètres algébriques).
Déjà ton assertion les cubiques projectives s'intersectent en exactement 9 points...c'est assujetti a des conditions. Il faut compter les "multiplicté d'intersection" (c'est a dire la dimension du localisé en le point d'intersection k^{alg}[X,Y]/(f_1,f_2))
Est ce que tu ne serait aps en train de lire le livre "rationnal points on elliptic curves" de Silvermann-Tate, parce qu'ils font pas mal de trucs dans ce style qui ont l'avantage d'etre joli, et l'inconvenient d'etre un peu faux.
c'est vrai, je pense que là le cas se fait en considérant que la multiplicité d'intersection en chaque point est de 1.. mais c'est vrai le texte n'est pas assez précis..
ça provient du livre "complex algebraic curves" de Frances Kirwan, c'est pour mon TER sur les courbes algébriques
Je pense que dans ce contexte ta démonstration suffit tres bien...le mot d'ordre dans ce genre de probleme est "supposons que toutes les hypothèses nécessaires à la démonstration sont verifiés" (attention il y a moyen de faire qqch de tres propre dans ce domaine mais cela requiert d'utiliser la théorie des schemas et c'est nettement plus lourd)
ok donc en fait si rang du système égal à 5 on va avoir une unique conique
On raisonne par l'absurde, on suppose que le rang est inférieur à 5 et donc le noyau contient deux vecteurs linéairement indépendants, et il contient aussi la combinaison linéaire des 2.
On fixe un autre point p et on a donc une conique passant par les 5 points et le point p ... et trouver une contradiction plus loin
Si le rang du système est inférieur à 5, alors on a une infinité qui passent par les 5 points p1, p2, p3, p4, p5 et par un autre point arbitraire que l'on va noter p. Donc une conique passe par 6 de ces points.
si p est égal à l'un des autres points d'intersection, par exemple p6 :
Je peux utiliser le résultat sur l'hexagramme de Pascal (je l'ai démontré en tant qu'application après la forme faible de Bézout) : "les paires de cotés opposés d'un hexagone inscrit dans une conique irréductible dans l'espace projectif se coupent en trois points alignés". Ce sont exactement les points d'intersection des deux cubiques , à savoir p7,p8,p9...
comment conclure pour avoir la contradiction?
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