Bonsoir.

Il y a plusieurs choix de normes sur , et la constante de Lipschitz dépend du choix de la norme.

De quelle norme tu munis ?

Je pense qu'il s'agit de .

Si c'est le cas, c'est juste l'inégalité triangulaire : , on applique l'inégalité triangulaire, et la norme de chaque partie est majorée par la norme du couple.

merci, dans l'exercice il n'y a pas de précision sur la norme choisie. j'ai beaucoup de mal avec ça, comment fait-on pour choisir la norme convenablement ?
Moi j'ai l'habitude d'utiliser ||(x,y)||=(x²+y²).

Par exemple pour calculer la différentielle d'une application bilinéaire continue, on doit montrer que le reste B(h,k) est négligeable devant ||(h,k)|| et la norme utilisée est la norme ||x||=|xi|, et donc il montre que B(h,k) est négligeable devant ||h||+||k||. Mais pourquoi a t-il choisit cette norme ?

Bref je suis perdu avec toutes ces normes

On choisit la norme qui nous arrange, toutes ces normes sont équivalentes sur l'espace produit.

Pour montrer qu'une application est lipschitzienne, le choix de la norme n'est donc pas important. (la propriété de Lipschitz est conservée si on passe à une autre norme équivalente)
En revanche, la constante de Lipschitz dépend du choix de la norme.

Pour ton calcul sur les applications bilinéaires, le choix de la norme n'a aucune importance. Si tu arrives à démontrer la continuité avec une autre norme (celle dont tu as l'habitude, ou encore celle que j'ai proposé), tu as gagné.

De même, la notion de différentiabilité ne dépend pas du choix de la norme, pourvu que les normes soient équivalentes.

merci, grâce à ton explication j'y vois déjà beaucoup plus clair

pour ce qui est de l'exercice j'ai effectivement réussit en utilisant la norme que tu as donné (ils ont du oublier d'indiquer la norme) .

sinon j'ai une autre question qui n'a pas grand chose à voir avec le sujet initial mais je n'ai pas envie de créer un nouveau sujet pour si peu.

En fait en quoi ||B(h,k)||M||h||||k|| implique que

lim           ||B(h,k)||   ||B(h,k)||  
                ----------   =    -------- =         0 ?
(h,k)->(0,0) ||(h,k)||     ||h||+||k||

Et bien, grâce à ton inégalité, tu trouves que qui tend bien vers 0.

J'ai utilisé la norme et j'ai majoré chaque terme du numérateur par la norme du couple.

merci,effectivement ça me parait logique maintenant que je vois ça ^^.

Merci et joyeux noël au passage