On peut être dérivable à droite en a ou à gauche en b. Mais la plupart du temps ce n'est pas utile dans les hypothèses. D'autre part, la dérivabilité est une notion définie sur les ouverts (du type ]a;b[)).

Ah, ok, donc ça n'implique pas qu'on est pas dérivable aux extrémités...

Non, en effet. Tu peux trouver un contrexemple d'une fonction continue sur [0;1] et non dérivable en 0 en utilisant cette remarque : une fonction dérivable qui oscille beaucoup a une derivée grande même si l'amplitude des oscillations est faible.

Si ce n'est pas assez pour te mettre sur la voie, dis le moi.

Je ne sais pas trop là On parle du sinus ? Il est dérivable sur tout entier, non ?

Non, je ne parlais pas vraiment du sinus : sinus n'oscille pas beaucoup (il est de période constante). Une fonction qui oscille beaucoup est une fonction qui fait sans arrêt positif, négatif, positif, négatif... et de plus en plus vite (ça donne le vertige).

Mais, en effet, une formule pour mon contrexemple va faire apparaître un sinus.

Ah alors je vois, c'est un peu les ondes p et s des séismes qui oscillent énormément tout en étant continues.

C'est plus dans ce genre là.

Une fonction qui oscille beaucoup est par exemple sin(1/X) au voisinage de 0 :

Whow, merci pour ta réponse. C'est vrai qu'elle oscille bien. Et les "pics" sont tellement droits qu'il est difficile d'imaginer un image respective pour chaque x.

Oui. Par contre ,n'est pas définie en 0 (et il est impossible de la prolonger par continuité...). Ca ne fournit pas de contrexemple à ton problème. Mais en s'inspirant de cela, il est possible d'y arriver.

Oui. Merci beaucoup.