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Niveau Maths sup
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Petite question sur du vocabulaire de sup

Posté par
olive_68 25-08-09 à 19:24

Bonjour

J'ai des questions basiques de vocabulaire de sup, c'est pour voir si j'ai bien compris

Ca commence par injective (j'ai regardé la définition sur Wiki ),

Donc les j'ai bien compris la fonction 3$f(x)=x, 3$g(x)=e^x ou encore 3$h(x)=\ell n(x) sont toutes des fonctions injectives ?

Merci d'avance

(J'aurais encore pleins de questions C'est pas fini )

Posté par
blangre : Petite question sur du vocabulaire de sup 25-08-09 à 19:28

Salut olive, jusque là, tu as bien compris

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Petite question sur du vocabulaire de sup 25-08-09 à 19:31

Re-Salut !

Oui

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Petite question sur du vocabulaire de sup 25-08-09 à 19:31

Ah Salut Blang

Posté par
olive_68re : Petite question sur du vocabulaire de sup 25-08-09 à 19:33

Salut blang

Merci d'avoir répondu !

D'ailleurs ces exemples là sont aussi toutes des fonctions surjectives ? donc bijectives ?

Par exemple la fonction 3$\cos(x) définie sur \bb{R} est surjective mais pas injective et donc elle n'est pas bijective?

Posté par
olive_68re : Petite question sur du vocabulaire de sup 25-08-09 à 19:33

Re monrow

Merci

Posté par
yoyodadare : Petite question sur du vocabulaire de sup 25-08-09 à 19:37

Bonsoir,

Pour la surjectivité cela dépend de l'ensemble d'arrivée que tu considères:
Si tu considères la fonction f de \mathbb{R} dans \mathbb{R} qui à x associe f(x) = cos(x) alors f n'est pas surjective (puisque 3 n'a pas d'antécédent), mais si tu restreint l'ensemble d'arrivée à [-1,1] alors f est bien surjective

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Petite question sur du vocabulaire de sup 25-08-09 à 19:38

Oui la fonction cosinus n'est pas bijective sur IR, mais sa restriction à \Large\[0,\pi\] en est une. (et bien sûr je suppose que tu prends [-1,1] comme ensemble d'arrivée sinon elle ne serait pas surjective )

Posté par
olive_68re : Petite question sur du vocabulaire de sup 25-08-09 à 19:39

Bonjour yoyodada

Ah oui merci !! Il vaut donc mieux à chaques fois préciser l'ensemble d'arriver et avec ça seulement ont pourra conclure

Merci beaucoup de vos réponses rapides !

Posté par
yoyodadare : Petite question sur du vocabulaire de sup 25-08-09 à 19:41

En fait dans les études de fonction mieux vaut toujours préciser à chaque fois les ensembles de départ(pour l'injectivité) et d'arrivée (pour la surjectivité) pour pouvoir conclure

Posté par
olive_68re : Petite question sur du vocabulaire de sup 25-08-09 à 19:45

Cool

Donc pour être sur d'avoir tout saisis,

La fonction arctangente n'est pas surjective de \bb{R} dans \bb{R} (Mais injective de \bb{R} dans \bb{R})

Parcontre elle est surjective et injective donc bijective de \bb{R} dans ]-\fr{\pi}{2};\fr{\pi}{2}[  

Posté par
yoyodadare : Petite question sur du vocabulaire de sup 25-08-09 à 19:47

Tout à fait

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Petite question sur du vocabulaire de sup 25-08-09 à 19:48

C'est pas rigoureux de dire ça, puisque la définition même de la fonction arctagente suppose que l'ensemble d'arrivée est ]\fr{\pi}{2};\fr{\pi}{2}[.

Posté par
olive_68re : Petite question sur du vocabulaire de sup 25-08-09 à 19:56

Ah oui faut faire vraiment attention à tout :S

Ben alors autre exemple ^^ 3$f(x)=\fr{x}{x+1} est injective de \bb{R}^+ dans \bb{R} mais pas surjective de \bb{R}^+ dans \bb{R}

Parcontre elle est surjective(et injective donc bijective) de \bb{R}^+ dans [tex][0;1[[tex]

C'est cool avec ces quelques petits exemples que j'ai fait je commence vraiment à faire les différences entre toutes les notions

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Petite question sur du vocabulaire de sup 25-08-09 à 20:00

Oui.

Posté par
olive_68re : Petite question sur du vocabulaire de sup 25-08-09 à 20:41

Merci je vais continuer ma lecture

Posté par
ottore : Petite question sur du vocabulaire de sup 25-08-09 à 21:50

Pour la surjectivité cela dépend de l'ensemble d'arrivée que tu considères:
Pour l'injectivité également.
Par exemple il est dit que exp est injective, c'est faux sur C.

Posté par
olive_68re : Petite question sur du vocabulaire de sup 25-08-09 à 21:55

Salut otto

Merci de la précision

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 00:11

Comme promis voilà un premier exo : (n'essaie pas de perdre trop ton temps avec le latex)

Citation :

On considère l'application f définie de 3$[1,+\infty[ vers 3$[2,+\infty[ par: 3$f(x)=x+\frac{1}{x}

1) Calcule f(1) et f(2)
2) Montrer que f est injective
3) Montrer que f est surjective
4) En déduire que f est bijective et déterminer son application réciproque.


PS: est-ce que t'as vu un peu la notion d'image directe, d'image réciproque?

Posté par
olive_68re : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 00:16

Merci beaucoup !

Euh non, je regarde sur Wiki alors ^^ J'en ai besoin pour cet exercice de ces notions ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 00:17

Non tu n'en as pas besoin maintenant, laisse ça pour après alors

Posté par
olive_68re : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 00:29

Bon c'est parti,

\fbox{1.} On a :

3$f(1)=2 \\ f(2)=\fr{5}{2}

\fbox{2.} Montrons que 3$f est injective :

Supposons qu'il existe 3$x^'\in \[1;+\infty[ tel que 3$f(x)=f(x^').

Soit 3$x+\fr{1}{x}=x^'+\fr{1}{x^'}, 3$\fr{x^2+1}{x}-\fr{x^'^2+1}{x^'}=0

En fait par cette méthode je n'arrive pas à montrer que forcément 3$x=x^', ca me paraît évident mais sans arriver à la montrer..

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 00:36

Réduis au même dénominateur, tu auras des simplifications

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 00:38

Et pour la rédaction, au début : soit (x,x')\in\[1,+\infty [ tel que f(x)=f(x')

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 00:39

(x,x')\in\[1,+\infty%20[^2

Posté par
olive_68re : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 00:50

Merci beaucoup

Ah bon je n'avais pas continué pensant que ça serait encore pire ..

Donc, Soit 3$(x,x^')\in [1;+\infty[^2 tel que 3$f(x)=f(x^').

3$x+\fr{1}{x}=x^'+\fr{1}{x^'} \ \Longleftright \ \fr{x^'(x^2+1)-x(x^'^2+1)}{x\times x^'}=0 \ \Longleftright \ \fr{x^'x^2-xx^'^2+x^'-x}{xx^'}=0 \ \Longleftright \ \fr{xx^'(x-x^')+(x^'-x)}{xx^'}=0 \ \Longleftright \ \fr{(x-x^')\[xx^'-1\]}{xx^'}=0

On applique la règle du produit nul,

Comme 3$(x,x^')\in [1;+\infty[^2 alors 3$xx^'-1=0 si 3$x=x'=1 de plus 3$(x-x^')=0 si 3$x^'=x

Donc 3$\red \fbox{f(x)=f(x^') \ \Longright \ x=x^'

Ainsi 3$f est injective

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 00:51

Tout à fait

Posté par
olive_68re : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 00:52

Cool

Désolé d'avoir été long ^^ je ne voyais pas où il fallait en venir ^^'

C'est parti pour la suite

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 00:54

Pour la rédaction toujours, cela est montré pour x et x' fixé mais on ne leur a attribué aucune condition c'est donc valable pour tout x et x' de [1,+oo[, pour celà à la fin, il faut ajouter:

Donc 3$\fbox{\red%20\forall (x,x')\in[1,+\infty[^2 f(x)=f(x^%27)%20\%20\Longright%20\%20x=x^%27

Et c'est cela qui implique que f est injective !

Posté par
olive_68re : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 00:55

Ah oui merci beaucoup ! J'arrive pas à m'y faire, faut être super rigoureux ^^

Posté par
olive_68re : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 01:05

\fbox{2.} Montrons que 3$f est surjective :

Soit 3$y\in [2;+\infty[

Et je sèche là .. je cherche à trouver un 3$x en fonction de 3$y tel que 3$f(x)=y

Donc résoudre 3$x+\fr{1}{x}=y mais ça me semble plutôt hot :S

En vrai j'aurais fait un étude de fonction moi pour montrer que chaques images à un antécédant

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 01:09

x+1/x=y <=> x²-yx+1=0 (équation de 2ème degré en x, y étant qu'un paramètre) cela va te donner x en fonction de y.

Posté par
olive_68re : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 01:19

Hopapa c'était donc ça ?! Et je vais en prépa cette année, ça va être joyeux ^^

Ben merci beaucoup

Donc pour continuer, (surement pleins de maladresses)

Soit 3$y\in [2;+\infty[, Résolvons 3$x+\fr{1}{x}=y

3$x+\fr{1}{x}=y \ \Longright \ x^2-xy+1=0 \ \Longleftright \ \(x-\fr{y-\sqrt{y^2-4}}{2}\)\times \(x-\fr{y+\sqrt{y^2-4}}{2}\)=0

Donc 3$x=\fr{y+\sqrt{y^2-4}}{2} (L'autre solution ne convient pas car 3$x\in [1;+\infty[

Ainsi en prenant 3$x=\fr{y+\sqrt{y^2-4}}{2} on a 3$f(x)=y (Je sais pas si écrire les calculs apportes quelque chose mais je le fais chez moi)

Donc 3$y à un antécédant pour 3$f ce qui implique que 3$f soit surjective .

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 01:22

Voilà ! (et n'oublie pas la dernière phrase, donc pour tout y de ..., il existe x de ... tel que ... donc f est surjective)

On pouvait juste à partir de cette question trouver la bijectivité, chaque élément a un UNIQUE antécédent, donc sans passer par l'injectivité.

Aller pour la dernière question, tu y a même déjà répondu, il suffit d'écrire ..

Posté par
olive_68re : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 01:29

\fbox{3.} 3$f étant injective et surjective on en déduit que 3$f est bijective

D'après la question précédente l'application réciproque est 3$f^{-1}(x)=\fr{x+\sqrt{x^2-4}}{2}.

(Question hors sujet surement: J'ai remarqué que par le changement 3$x\to \fr{1}{x} on récupère la même fonction, ça a un nom ça ?)

Posté par
olive_68re : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 01:31

Ah, donc faut rajouter "pour tout 3$ y de 3$[2;+\infty[, il existe 3$x de 3$[1;+\infty[ tel que 3$f(x)=y, donc 3$f est surjective"

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 01:31

je ne vois pas vraiment ce que tu veux dire, déjà si x>1, g(1/x) n'a pas de sens puisque 1/x<1.

Posté par
olive_68re : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 01:34

Ah oui c'est vrai ^^

Ben si la fonction était définie sur IR* on aurait 3$f(x)=f\(\fr{1}{x}\) .

Je me demandais si on étudiait ce genre de chose où pas ..

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 01:36

eh non ça n'a aucun nom à ce que je sais

Posté par
olive_68re : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 01:37

^^ Ok merci et merci beaucoup pour l'exercice

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 01:43

Aucun problème

Un autre pour la route .. (moins calculatoire)

Citation :

Soient : \Large f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\\\qquad n\to 2n et \Large g:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\\\qquad n\to \{\frac{n}{2}\,si\,n\,est\,pair\\\frac{n-1}{2}\,si\,n\,est\,impair.

1) Etudier l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité de f et g .

2) Préciser les applications gof et fog et puis étudier leur injectivité, surjectivité et bijectivité.

Posté par
olive_68re : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 02:00

Ah cool merci

On commence par la fonction 3$f

\fbox{1. Etudions l'injectivité,

Soit 3$(n,n^')\in \bb{N}^2 tel que les deux applications \Large f \ : \ \{ \mathbb{N}\to\mathbb{N}\\ n\to 2n et \Large f \ : \ \{ \mathbb{N}\to\mathbb{N}\\ n^'\to 2n^' soient égales.

Donc 3$2n=2n^' soit 3$n=n^' donc 3$f est injective.

Etudions la surjectivité,

Soit 3$m \in \bb{N} tel que 3$2n=m, on a 3$n=\fr{m}{2}.

Or lorsque 3$ m est impair 3$n n'est pas un entier.

Ce qui implique que l'application \Large f \ : \ \{ \mathbb{N}\to\mathbb{N}\\ n\to 2n n'est pas sujective.

Je poste déjà ça dans un premier temps ^^

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 02:04

Euh .. pourquoi avoir pris deux applications? Il n'y en a qu'une seule !

soit n et n' tel que f(n)=f(n') et puis tu trouves que n=n' donc f injective

sinon je suis d'accord pour le reste et pour la surjectivité aussi, les nombres impairs n'ont pas d'antécédents en fait !

Posté par
olive_68re : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 02:07

A je ne pensais pas qu'on puisse utiliser f(n) avec 3$n un entier

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 02:11

Si ! Une application n'est pas nécessairement une fonction avec ensembles de départ et d'arrivée de IR

par exemple:

* pour les matrices, 3$f:\M_n(R)^2\to M_n(R)\\(A,B)\to A+B est aussi une application et on a f(A,B)=A+B
* En notant K[X] l'ensemble des polynôme: 3$f:K[X]\to K[X]\\P\to P' où P' est le polynôme dérivé de P, on écrit aussi f(P)=P'

Ce n'est pas toujours des fonctions numériques

Posté par
olive_68re : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 02:18

Et j'ai oublié de conclure, donc 3$f n'est pas bijective

1. Etudions l'injectivité de 3$g

\Large g \ : \ \{ \mathbb{N}\to\mathbb{N}\\ n\to \{\frac{n}{2}\,si\,n\,est\,pair\\\frac{n-1}{2}\,si\,n\,est\,impair

Soit 3$(n,n^')\in \bb{N}^* tel que 3$g(n)=g(n^').

Procédons par disjonctions des cas,

Le cas ou 3$n est pair, 3$\fr{n}{2}=\fr{n^'}{2} alors 3$n=n^'

Le cas ou 3$n est impair, 3$\fr{n-1}{2}=\fr{n^'-1}{2} alors 3$n-1=n^'-1 soit 3$n=n^'

Donc l'application est bien injective.

Etudions la surjectivité,

Soit 3$m\in \bb{N}, tel que 3$\fr{n}{2}=m lorsque 3$n est pair et 3$\fr{n-1}{2}=m lorsque 3$n est impair.

3$n=2m lorsque 3$n est pair et 3$n=2m+1 lorsque 3$n est impair

Donc 3$g(n)=\fr{2m}{2}=m lorsque 3$n est pair et 3$g(n)=\fr{(2m+1)-1}{2}=m lorsque 3$n est impair

Donc pour tout 3$m de 3$\bb{N}, il existe 3$n\in \bb{N} tel que 3$g(n)=m, ainsi chaques 3$m a au moins un antécédant.
Ce qui implique que 3$g soit surjective.

3$g est injective et surjective ce qui implique qu'elle est bijective

Posté par
olive_68re : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 02:20

Pour les applications j'avais déjà vu sur internet des trucs comme tu as écrit là mais je ne savais pas que je pouvais utiliser la notations 3$f(n) si 3$n n'était pas une variable appartenant à un intervalle continue et non discret comme ici

Posté par
ottore : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 02:23

Une fonction se fiche de savoir quels sont les espaces de départ et d'arrivée, tu peux avoir f(x) pour x vivant dans n'importe quel espace puisque tu peux créer des fonctions sur n'importe quel ensemble.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 02:24

1) g n'est pas injective g(0)=g(1)=0 ! Je te laisse trouver la faille dans ton raisonnement

2) g est bien surjective mais ton raisonnement est faux ! Relis ce que tu as écrt et essaie de recter logique et objectif ^^

Bon je te laisse y réfléchir maintenant, moi je vais aller dormir

Bonne nuit

Posté par
olive_68re : Petite question sur du vocabulaire de sup 26-08-09 à 02:25

Ah oui Ok ok je vais faire ça ^^

Merci pour tout, bonne nuit à toi aussi merci ^^

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